Projektioner

Projektionen af en vektor på en anden beskriver, hvor meget af den ene vektor der peger i retning af den anden. Det svarer til at se vektoren som en skygge ned på den anden vektor.

 

Definition

Projektionen af \( \large \mathbf{u} \) på \( \large \mathbf{v} \) er givet ved:

 

$$ \large \text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2} \cdot \mathbf{v} $$

 

Eksempel

Vi tager \( \large \mathbf{u} = (3,4) \) og \( \large \mathbf{v} = (4,0) \).

 

Først beregnes skalarproduktet:

 

$$ \large \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot 0 = 12 $$

 

Længden af \( \large \mathbf{v} \) er:

 

$$ \large |\mathbf{v}|^2 = 4^2 + 0^2 = 16 $$

 

Projektionen bliver derfor:

 

$$ \large \text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \frac{12}{16} \cdot (4,0) = (3,0) $$

 

Geometrisk fortolkning

Projektionen er den vektor, der ligger på \( \large \mathbf{v} \) og repræsenterer den del af \( \large \mathbf{u} \), som peger i samme retning. Man kan tænke på det som at kaste en skygge fra \( \large \mathbf{u} \) ned på linjen gennem \( \large \mathbf{v} \).

 

Bemærk: Differensen \( \large \mathbf{u} - \text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) \) står altid vinkelret på \( \large \mathbf{v} \). Dermed kan en vektor opdeles i en del langs \( \mathbf{v} \) og en del vinkelret på \( \mathbf{v} \).

 

Hvis vinklen mellem \( \mathbf{u} \) og \( \mathbf{v} \) er større end \( 90^\circ \), bliver projektionen rettet bagud langs \( \mathbf{v} \), hvilket giver en negativ skalarværdi foran \( \mathbf{v} \).

 

 

Anvendelse

Projektioner bruges ofte i fysik til at beregne den del af en kraft, der virker i en bestemt retning, og i matematik til at finde komponenter af vektorer langs givne akser.