Vektorer

En vektor er et matematisk objekt, som har både en retning og en længde. Vektorer bruges til at beskrive bevægelser, kræfter og placeringer i både to og tre dimensioner.

 

Man kan forestille sig en vektor som en pil, hvor pilens længde angiver størrelsen, og pilens retning angiver retningen.

 

Notation

Vektorer skrives ofte med fed skrift \( \large \mathbf{v} \) eller med en pil over \( \large \vec{v} \).

 

Hvis en vektor går fra et punkt \( \large A \) til et punkt \( \large B \), kan den skrives som:

 

$$ \large \vec{AB} $$

 

Koordinatrepræsentation

I et koordinatsystem kan en vektor beskrives ved sine koordinater. For en vektor i planen (to dimensioner) med begyndelsespunkt i origo:

 

$$ \large \mathbf{v} = (x,y) $$

 

I rummet (tre dimensioner) skrives en vektor som:

 

$$ \large \mathbf{v} = (x,y,z) $$

 

 

Længde

Længden af en vektor \( \large \mathbf{v} = (x,y) \) i planen findes ved:

 

$$ \large |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} $$

 

For en vektor i rummet \( \large \mathbf{v} = (x,y,z) \):

 

$$ \large |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$

 

 

Eksempel

Vektoren \( \large \mathbf{v} = (3,4) \) har længden:

 

$$ \large |\mathbf{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $$

 

Dette svarer til en retvinklet trekant med kateterne 3 og 4 og hypotenusen 5.