Vektorer i rummet

Vektorer i rummet udvider de samme ideer som i planen, men nu med tre koordinater. De bruges til at beskrive punkter, retninger og sammenhænge i tre dimensioner.

 

Koordinater

En vektor i rummet kan beskrives ved koordinaterne \( \large (x,y,z) \). Hvis vektoren starter i origo og ender i punktet \( \large (x,y,z) \), skrives:

 

$$ \large \mathbf{v} = (x,y,z) $$

 

 

Addition og subtraktion

To vektorer i rummet adderes ved at lægge de tilsvarende koordinater sammen:

 

$$ \large (x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) = (x_1 + x_2,\; y_1 + y_2,\; z_1 + z_2) $$

 

Subtraktion foregår på samme måde:

 

$$ \large (x_1,y_1,z_1) - (x_2,y_2,z_2) = (x_1 - x_2,\; y_1 - y_2,\; z_1 - z_2) $$

 

 

Multiplikation med tal

En vektor kan ganges med et tal \( \large k \) ved at gange alle tre koordinater:

 

$$ \large k \cdot (x,y,z) = (k \cdot x,\; k \cdot y,\; k \cdot z) $$

 

 

Længde

Længden af en vektor \( \large \mathbf{v} = (x,y,z) \) findes ved:

 

$$ \large |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$

 

 

Skalarprodukt

For to vektorer \( \large \mathbf{u} = (x_1,y_1,z_1) \) og \( \large \mathbf{v} = (x_2,y_2,z_2) \) defineres skalarproduktet som:

 

$$ \large \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 $$

 

Dette kan også udtrykkes ved vinklen \( \large \theta \) mellem vektorerne:

 

$$ \large \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}| \cdot \cos(\theta) $$

 

 

Krydsprodukt

I tre dimensioner kan man danne krydsproduktet af to vektorer. For \( \large \mathbf{u} = (x_1,y_1,z_1) \) og \( \large \mathbf{v} = (x_2,y_2,z_2) \):

 

$$ \large \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2,\; z_1 \cdot x_2 - x_1 \cdot z_2,\; x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2) $$

 

Krydsproduktet er en ny vektor, der står vinkelret på både \( \large \mathbf{u} \) og \( \large \mathbf{v} \). Længden af krydsproduktet kan tolkes som arealet af det parallelogram, som vektorerne udspænder.

 

 

Linjer og planer

I rummet kan vektorer bruges til at beskrive linjer og planer.

 

En linje gennem punktet \( \large P_0(x_0,y_0,z_0) \) med retningsvektor \( \large \mathbf{r} = (a,b,c) \) kan skrives som:

 

$$ \large (x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + t \cdot (a,b,c), \quad t \in \mathbb{R} $$

 

Et plan kan beskrives ved en normalvektor \( \large \mathbf{n} = (a,b,c) \) og et punkt \( \large P_0(x_0,y_0,z_0) \):

 

$$ \large a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 $$