Vektorer i planen

Vektorer i planen bruges til at beskrive bevægelser og sammenhænge i to dimensioner. De repræsenteres som pile i koordinatsystemet og kan skrives ved hjælp af deres koordinater.

 

Koordinater

En vektor i planen kan beskrives ved koordinaterne \( \large (x,y) \). Hvis vektoren starter i origo og ender i punktet \( \large (x,y) \), skrives:

 

$$ \large \mathbf{v} = (x,y) $$

 

 

Addition og subtraktion

To vektorer kan lægges sammen ved at lægge deres tilsvarende koordinater sammen:

 

$$ \large (x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1 + x_2, \; y_1 + y_2) $$

 

På samme måde trækkes vektorer fra hinanden ved at trække koordinaterne fra hinanden:

 

$$ \large (x_1,y_1) - (x_2,y_2) = (x_1 - x_2, \; y_1 - y_2) $$

 

 

Multiplikation med tal

En vektor kan ganges med et tal \( \large k \) ved at gange hvert koordinat med \( \large k \):

 

$$ \large k \cdot (x,y) = (k \cdot x, \; k \cdot y) $$

 

 

Længde

Længden af en vektor i planen \( \large \mathbf{v} = (x,y) \) findes ved hjælp af Pythagoras’ sætning:

 

$$ \large |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} $$

 

 

Enhedsvektorer

En enhedsvektor er en vektor med længden 1. Den kan findes ved at dividere en vektor med dens længde:

 

$$ \large \mathbf{e} = \frac{1}{|\mathbf{v}|} \cdot \mathbf{v} $$

 

 

Skalarprodukt

For to vektorer i planen \( \large \mathbf{u} = (x_1,y_1) \) og \( \large \mathbf{v} = (x_2,y_2) \) defineres skalarproduktet som:

 

$$ \large \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 $$

 

Skalarproduktet kan også udtrykkes ved vinklen \( \large \theta \) mellem vektorerne:

 

$$ \large \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}| \cdot \cos(\theta) $$

 

 

Projektion

Projektionen af \( \large \mathbf{u} \) på \( \large \mathbf{v} \) findes ved formlen:

 

$$ \large \text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2} \cdot \mathbf{v} $$