Længde og enhedsvektorer

Længden af en vektor beskriver, hvor stor vektoren er, mens en enhedsvektor er en vektor med længden 1 i samme retning som den oprindelige.

 

Længde

For en vektor \( \large \mathbf{v} = (x,y) \) findes længden ved:

 

$$ \large |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} $$

 

Eksempel: Vektoren \( \large \mathbf{v} = (3,4) \) har længden

 

$$ \large |\mathbf{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $$

 

Enhedsvektor

En enhedsvektor findes ved at dividere en vektor med dens længde:

 

$$ \large \mathbf{e} = \frac{1}{|\mathbf{v}|} \cdot \mathbf{v} $$

 

Eksempel: For \( \large \mathbf{v} = (3,4) \) fås

 

$$ \large \mathbf{e} = \frac{1}{5} \cdot (3,4) = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) $$

 

Bemærk: Nulvektoren \( \large (0,0) \) kan ikke gøres til enhedsvektor, fordi dens længde er 0, og man kan ikke dividere med 0.

 

De mest kendte enhedsvektorer er standardenhedsvektorerne i koordinatsystemet:

 

$$ \large \mathbf{i} = (1,0), \quad \mathbf{j} = (0,1) $$

 

Geometrisk fortolkning

Længden af en vektor svarer til afstanden fra origo til vektorens endepunkt.

En enhedsvektor er en pil i samme retning, men altid med længden 1.

 

Enhedsvektor og enhedscirkel

 

Anvendelse

Enhedsvektorer bruges til at beskrive retninger, uden at størrelsen betyder noget. I fysik bruges de for eksempel til at angive retningen af en kraft uafhængigt af dens styrke, og i matematik bruges de til at definere koordinatsystemers akser.