Numeriske metoder
Numeriske metoder bruges til at finde omtrentlige løsninger på matematiske problemer, hvor der ikke findes en simpel analytisk formel. De spiller en vigtig rolle i anvendt matematik, fysik og ingeniørvidenskab, hvor eksakte beregninger ofte er umulige eller meget besværlige.
En numerisk metode består i at erstatte en teoretisk uendelig proces med en beregnelig tilnærmelse, som kan udføres på en computer. Dette gør det muligt at beregne værdier for funktioner, integraler, afledte og differentialligninger ud fra et sæt kendte datapunkter eller en given formel.
Rodfindingsmetoder
Rodfindingsmetoder bruges til at finde punkter, hvor en funktion opfylder \( \large f(x) = 0 \). I praksis anvendes iterative fremgangsmåder, som trin for trin nærmer sig rodens værdi. De mest kendte er halveringsmetoden, Newton-Raphson og sekantmetoden.
Numerisk integration
Når et integral ikke kan løses symbolsk, kan det beregnes ved at tilnærme arealet under grafen. Dette gøres ved at opdele intervallet i mindre dele og beregne summen af simple figurer, som hver tilnærmer arealet under kurven.
$$ \large \int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} A_i $$
De mest anvendte metoder er trapezmetoden og Simpsons regel, som adskiller sig i den måde, de tilnærmer funktionen mellem punkterne på.
Numerisk differentiation
En afledt funktion kan også estimeres ud fra diskrete punkter.
Her anvendes differenskvotienter, hvor man bruger to eller flere nærliggende punkter til at beregne en tilnærmet værdi af \( \large f'(x) \).
$$ \large f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$
Numeriske differentialligninger
Differentialligninger kan sjældent løses eksakt, men de kan tilnærmes ved at beregne funktionsværdier trinvist. De simpleste metoder, som Eulers metode og Runge–Kutta, udregner funktionen i et punkt ud fra dens kendte værdi og hældning i et tidligere punkt.
$$ \large y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n) $$
Disse metoder danner grundlaget for mange numeriske simulationer og beregninger, hvor en eksakt formel ikke findes.