Proyecciones

La proyección de un vector sobre otro describe cuánto de un vector apunta en la dirección del otro. Corresponde a ver el vector como una sombra proyectada sobre el otro vector.

 

Definición

La proyección de \( \large \mathbf{u} \) sobre \( \large \mathbf{v} \) está dada por:

 

$$ \large \text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2} \cdot \mathbf{v} $$

 

Ejemplo

Tomamos \( \large \mathbf{u} = (3,4) \) y \( \large \mathbf{v} = (4,0) \).

 

Primero se calcula el producto escalar:

 

$$ \large \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot 0 = 12 $$

 

La longitud de \( \large \mathbf{v} \) es:

 

$$ \large |\mathbf{v}|^2 = 4^2 + 0^2 = 16 $$

 

La proyección es por lo tanto:

 

$$ \large \text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \frac{12}{16} \cdot (4,0) = (3,0) $$

 

Interpretación geométrica

La proyección es el vector que se encuentra sobre \( \large \mathbf{v} \) y representa la parte de \( \large \mathbf{u} \) que apunta en la misma dirección. Se puede pensar como proyectar una sombra de \( \large \mathbf{u} \) sobre la recta a lo largo de \( \large \mathbf{v} \).

 

Nota: La diferencia \( \large \mathbf{u} - \text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) \) siempre es perpendicular a \( \large \mathbf{v} \). Así, un vector puede descomponerse en una parte a lo largo de \( \mathbf{v} \) y una parte perpendicular a \( \mathbf{v} \).

 

Si el ángulo entre \( \mathbf{u} \) y \( \mathbf{v} \) es mayor que \( 90^\circ \), la proyección se dirige hacia atrás a lo largo de \( \mathbf{v} \), lo que da un valor escalar negativo delante de \( \mathbf{v} \).

 

 

Aplicación

Las proyecciones se utilizan a menudo en física para calcular la parte de una fuerza que actúa en una dirección específica, y en matemáticas para encontrar componentes de vectores a lo largo de ejes dados.