Vectores en el plano

Los vectores en el plano se utilizan para describir movimientos y relaciones en dos dimensiones. Se representan como flechas en el sistema de coordenadas y pueden escribirse mediante sus coordenadas.

 

Coordenadas

Un vector en el plano puede describirse por las coordenadas \( \large (x,y) \). Si el vector comienza en el origen y termina en el punto \( \large (x,y) \), se escribe:

 

$$ \large \mathbf{v} = (x,y) $$

 

 

Adición y sustracción

Dos vectores pueden sumarse sumando sus coordenadas correspondientes:

 

$$ \large (x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1 + x_2, \; y_1 + y_2) $$

 

De la misma manera, los vectores se restan restando sus coordenadas:

 

$$ \large (x_1,y_1) - (x_2,y_2) = (x_1 - x_2, \; y_1 - y_2) $$

 

 

Multiplicación por un número

Un vector puede multiplicarse por un número \( \large k \) multiplicando cada coordenada por \( \large k \):

 

$$ \large k \cdot (x,y) = (k \cdot x, \; k \cdot y) $$

 

 

Longitud

La longitud de un vector en el plano \( \large \mathbf{v} = (x,y) \) se encuentra usando el teorema de Pitágoras:

 

$$ \large |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} $$

 

 

Vectores unitarios

Un vector unitario es un vector con longitud 1. Se puede encontrar dividiendo un vector por su longitud:

 

$$ \large \mathbf{e} = \frac{1}{|\mathbf{v}|} \cdot \mathbf{v} $$

 

 

Producto escalar

Para dos vectores en el plano \( \large \mathbf{u} = (x_1,y_1) \) y \( \large \mathbf{v} = (x_2,y_2) \), el producto escalar se define como:

 

$$ \large \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 $$

 

El producto escalar también puede expresarse mediante el ángulo \( \large \theta \) entre los vectores:

 

$$ \large \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}| \cdot \cos(\theta) $$

 

 

Proyección

La proyección de \( \large \mathbf{u} \) sobre \( \large \mathbf{v} \) se encuentra con la fórmula:

 

$$ \large \text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2} \cdot \mathbf{v} $$