Numerische Methoden

Numerische Methoden werden verwendet, um ungefähre Lösungen für mathematische Probleme zu finden, wenn keine einfache analytische Formel existiert. Sie spielen eine wichtige Rolle in der angewandten Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaft, wo exakte Berechnungen oft unmöglich oder sehr aufwendig sind.

 

Eine numerische Methode besteht darin, einen theoretisch unendlichen Prozess durch eine berechenbare Näherung zu ersetzen, die auf einem Computer ausgeführt werden kann. Dadurch lassen sich Werte von Funktionen, Integralen, Ableitungen und Differentialgleichungen aus bekannten Datenpunkten oder einer gegebenen Formel berechnen.

 

 

Wurzelfindungsmethoden

Wurzelfindungsmethoden werden verwendet, um Punkte zu bestimmen, an denen eine Funktion \( \large f(x) = 0 \) erfüllt. In der Praxis werden iterative Verfahren eingesetzt, die sich schrittweise dem Wert der Wurzel annähern. Die bekanntesten sind das Bisektionsverfahren, Newton-Raphson und das Sekantenverfahren.

 

 

Numerische Integration

Wenn ein Integral nicht symbolisch gelöst werden kann, kann es berechnet werden, indem die Fläche unter der Kurve angenähert wird. Dazu wird das Intervall in kleinere Teile zerlegt, und die Flächen einfacher Figuren werden summiert, die jeweils den Kurvenverlauf lokal approximieren.

 

$$ \large \int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} A_i $$

 

Die am häufigsten verwendeten Methoden sind die Trapezregel und die Simpson-Regel, die sich darin unterscheiden, wie sie die Funktion zwischen den gegebenen Punkten annähern.

 

 

Numerische Differentiation

Eine abgeleitete Funktion kann auch aus diskreten Punkten abgeschätzt werden.

Dazu werden Differenzenquotienten verwendet, wobei zwei oder mehr benachbarte Punkte genutzt werden, um einen Näherungswert von \( \large f'(x) \) zu berechnen.

 

$$ \large f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

 

 

Numerische Differentialgleichungen

Differentialgleichungen können selten exakt gelöst werden, sie lassen sich jedoch näherungsweise berechnen, indem die Funktionswerte schrittweise bestimmt werden. Die einfachsten Methoden, wie das Euler-Verfahren und Runge–Kutta, berechnen die Funktion an einem Punkt auf Grundlage ihres bekannten Wertes und ihrer Steigung im vorherigen Punkt.

 

$$ \large y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n) $$

 

Diese Methoden bilden die Grundlage vieler numerischer Simulationen und Berechnungen, bei denen keine exakte Formel existiert.