Vecteurs dans le plan
Les vecteurs dans le plan sont utilisés pour décrire des mouvements et des relations en deux dimensions. Ils sont représentés par des flèches dans le système de coordonnées et peuvent être écrits à l’aide de leurs coordonnées.
Coordonnées
Un vecteur dans le plan peut être décrit par les coordonnées \( \large (x,y) \). Si le vecteur commence à l’origine et se termine au point \( \large (x,y) \), il s’écrit :
$$ \large \mathbf{v} = (x,y) $$
Addition et soustraction
Deux vecteurs peuvent être additionnés en additionnant leurs coordonnées correspondantes :
$$ \large (x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1 + x_2, \; y_1 + y_2) $$
De la même manière, les vecteurs se soustraient en soustrayant les coordonnées :
$$ \large (x_1,y_1) - (x_2,y_2) = (x_1 - x_2, \; y_1 - y_2) $$
Multiplication par un nombre
Un vecteur peut être multiplié par un nombre \( \large k \) en multipliant chaque coordonnée par \( \large k \) :
$$ \large k \cdot (x,y) = (k \cdot x, \; k \cdot y) $$
Longueur
La longueur d’un vecteur dans le plan \( \large \mathbf{v} = (x,y) \) se trouve à l’aide du théorème de Pythagore :
$$ \large |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} $$
Vecteurs unitaires
Un vecteur unitaire est un vecteur de longueur 1. Il peut être trouvé en divisant un vecteur par sa longueur :
$$ \large \mathbf{e} = \frac{1}{|\mathbf{v}|} \cdot \mathbf{v} $$
Produit scalaire
Pour deux vecteurs dans le plan \( \large \mathbf{u} = (x_1,y_1) \) et \( \large \mathbf{v} = (x_2,y_2) \), le produit scalaire est défini comme :
$$ \large \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 $$
Le produit scalaire peut aussi s’exprimer à l’aide de l’angle \( \large \theta \) entre les vecteurs :
$$ \large \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}| \cdot \cos(\theta) $$
Projection
La projection de \( \large \mathbf{u} \) sur \( \large \mathbf{v} \) est donnée par la formule :
$$ \large \text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2} \cdot \mathbf{v} $$