Vecteurs

Un vecteur est un objet mathématique qui a à la fois une direction et une longueur. Les vecteurs sont utilisés pour décrire des mouvements, des forces et des positions dans deux et trois dimensions.

 

On peut imaginer un vecteur comme une flèche, dont la longueur indique la grandeur et dont la direction indique la direction.

 

Notation

Les vecteurs sont souvent écrits en gras \( \large \mathbf{v} \) ou avec une flèche au-dessus \( \large \vec{v} \).

 

Si un vecteur va d’un point \( \large A \) à un point \( \large B \), il peut s’écrire ainsi :

 

$$ \large \vec{AB} $$

 

Représentation en coordonnées

Dans un système de coordonnées, un vecteur peut être décrit par ses coordonnées. Pour un vecteur dans le plan (deux dimensions) ayant pour origine l’origo :

 

$$ \large \mathbf{v} = (x,y) $$

 

Dans l’espace (trois dimensions), un vecteur s’écrit :

 

$$ \large \mathbf{v} = (x,y,z) $$

 

 

Longueur

La longueur d’un vecteur \( \large \mathbf{v} = (x,y) \) dans le plan est donnée par :

 

$$ \large |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} $$

 

Pour un vecteur dans l’espace \( \large \mathbf{v} = (x,y,z) \) :

 

$$ \large |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$

 

 

Exemple

Le vecteur \( \large \mathbf{v} = (3,4) \) a pour longueur :

 

$$ \large |\mathbf{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $$

 

Cela correspond à un triangle rectangle dont les côtés mesurent 3 et 4 et dont l’hypoténuse mesure 5.