Vektoren im Raum

Vektoren im Raum erweitern die gleichen Ideen wie in der Ebene, jedoch jetzt mit drei Koordinaten. Sie werden verwendet, um Punkte, Richtungen und Zusammenhänge in drei Dimensionen zu beschreiben.

 

Koordinaten

Ein Vektor im Raum kann durch die Koordinaten \( \large (x,y,z) \) beschrieben werden. Wenn der Vektor im Ursprung beginnt und im Punkt \( \large (x,y,z) \) endet, wird er geschrieben als:

 

$$ \large \mathbf{v} = (x,y,z) $$

 

 

Addition und Subtraktion

Zwei Vektoren im Raum werden addiert, indem die entsprechenden Koordinaten addiert werden:

 

$$ \large (x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) = (x_1 + x_2,\; y_1 + y_2,\; z_1 + z_2) $$

 

Die Subtraktion erfolgt auf die gleiche Weise:

 

$$ \large (x_1,y_1,z_1) - (x_2,y_2,z_2) = (x_1 - x_2,\; y_1 - y_2,\; z_1 - z_2) $$

 

 

Multiplikation mit einer Zahl

Ein Vektor kann mit einer Zahl \( \large k \) multipliziert werden, indem alle drei Koordinaten mit \( \large k \) multipliziert werden:

 

$$ \large k \cdot (x,y,z) = (k \cdot x,\; k \cdot y,\; k \cdot z) $$

 

 

Länge

Die Länge eines Vektors \( \large \mathbf{v} = (x,y,z) \) berechnet sich durch:

 

$$ \large |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$

 

 

Skalarprodukt

Für zwei Vektoren \( \large \mathbf{u} = (x_1,y_1,z_1) \) und \( \large \mathbf{v} = (x_2,y_2,z_2) \) ist das Skalarprodukt definiert als:

 

$$ \large \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 $$

 

Dies kann auch mit dem Winkel \( \large \theta \) zwischen den Vektoren ausgedrückt werden:

 

$$ \large \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}| \cdot \cos(\theta) $$

 

 

Kreuzprodukt

In drei Dimensionen kann man das Kreuzprodukt zweier Vektoren bilden. Für \( \large \mathbf{u} = (x_1,y_1,z_1) \) und \( \large \mathbf{v} = (x_2,y_2,z_2) \):

 

$$ \large \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2,\; z_1 \cdot x_2 - x_1 \cdot z_2,\; x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2) $$

 

Das Kreuzprodukt ist ein neuer Vektor, der senkrecht auf sowohl \( \large \mathbf{u} \) als auch \( \large \mathbf{v} \) steht. Die Länge des Kreuzprodukts kann als die Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms interpretiert werden.

 

 

Geraden und Ebenen

Im Raum können Vektoren verwendet werden, um Geraden und Ebenen zu beschreiben.

 

Eine Gerade durch den Punkt \( \large P_0(x_0,y_0,z_0) \) mit Richtungsvektor \( \large \mathbf{r} = (a,b,c) \) kann geschrieben werden als:

 

$$ \large (x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + t \cdot (a,b,c), \quad t \in \mathbb{R} $$

 

Eine Ebene kann durch einen Normalenvektor \( \large \mathbf{n} = (a,b,c) \) und einen Punkt \( \large P_0(x_0,y_0,z_0) \) beschrieben werden:

 

$$ \large a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 $$