Vektoren

Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, das sowohl eine Richtung als auch eine Länge hat. Vektoren werden verwendet, um Bewegungen, Kräfte und Positionen in zwei und drei Dimensionen zu beschreiben.

 

Man kann sich einen Vektor als einen Pfeil vorstellen, dessen Länge die Größe angibt und dessen Richtung die Richtung angibt.

 

Notation

Vektoren werden oft fett geschrieben \( \large \mathbf{v} \) oder mit einem Pfeil darüber \( \large \vec{v} \).

 

Wenn ein Vektor von einem Punkt \( \large A \) zu einem Punkt \( \large B \) geht, kann er so geschrieben werden:

 

$$ \large \vec{AB} $$

 

Koordinatendarstellung

In einem Koordinatensystem kann ein Vektor durch seine Koordinaten beschrieben werden. Für einen Vektor in der Ebene (zwei Dimensionen) mit Anfangspunkt im Ursprung:

 

$$ \large \mathbf{v} = (x,y) $$

 

Im Raum (drei Dimensionen) wird ein Vektor so geschrieben:

 

$$ \large \mathbf{v} = (x,y,z) $$

 

 

Länge

Die Länge eines Vektors \( \large \mathbf{v} = (x,y) \) in der Ebene berechnet man durch:

 

$$ \large |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} $$

 

Für einen Vektor im Raum \( \large \mathbf{v} = (x,y,z) \):

 

$$ \large |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$

 

 

Beispiel

Der Vektor \( \large \mathbf{v} = (3,4) \) hat die Länge:

 

$$ \large |\mathbf{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $$

 

Dies entspricht einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten 3 und 4 und der Hypotenuse 5.