Vektoren in der Ebene

Vektoren in der Ebene werden verwendet, um Bewegungen und Zusammenhänge in zwei Dimensionen zu beschreiben. Sie werden als Pfeile im Koordinatensystem dargestellt und können mithilfe ihrer Koordinaten geschrieben werden.

 

Koordinaten

Ein Vektor in der Ebene kann durch die Koordinaten \( \large (x,y) \) beschrieben werden. Wenn der Vektor im Ursprung beginnt und im Punkt \( \large (x,y) \) endet, wird er geschrieben als:

 

$$ \large \mathbf{v} = (x,y) $$

 

 

Addition und Subtraktion

Zwei Vektoren können addiert werden, indem ihre entsprechenden Koordinaten addiert werden:

 

$$ \large (x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1 + x_2, \; y_1 + y_2) $$

 

Auf die gleiche Weise werden Vektoren subtrahiert, indem die Koordinaten subtrahiert werden:

 

$$ \large (x_1,y_1) - (x_2,y_2) = (x_1 - x_2, \; y_1 - y_2) $$

 

 

Multiplikation mit einer Zahl

Ein Vektor kann mit einer Zahl \( \large k \) multipliziert werden, indem jede Koordinate mit \( \large k \) multipliziert wird:

 

$$ \large k \cdot (x,y) = (k \cdot x, \; k \cdot y) $$

 

 

Länge

Die Länge eines Vektors in der Ebene \( \large \mathbf{v} = (x,y) \) wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet:

 

$$ \large |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} $$

 

 

Einheitsvektoren

Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit der Länge 1. Er kann gefunden werden, indem man einen Vektor durch seine Länge teilt:

 

$$ \large \mathbf{e} = \frac{1}{|\mathbf{v}|} \cdot \mathbf{v} $$

 

 

Skalarprodukt

Für zwei Vektoren in der Ebene \( \large \mathbf{u} = (x_1,y_1) \) und \( \large \mathbf{v} = (x_2,y_2) \) wird das Skalarprodukt definiert als:

 

$$ \large \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 $$

 

Das Skalarprodukt kann auch mit dem Winkel \( \large \theta \) zwischen den Vektoren ausgedrückt werden:

 

$$ \large \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}| \cdot \cos(\theta) $$

 

 

Projektion

Die Projektion von \( \large \mathbf{u} \) auf \( \large \mathbf{v} \) wird durch die Formel angegeben:

 

$$ \large \text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2} \cdot \mathbf{v} $$