Zusammengesetzte Ungleichungen

Eine zusammengesetzte Ungleichung besteht aus zwei Ungleichungen, die zu einer einzigen Bedingung kombiniert werden. Anstatt nur zu sagen, dass eine Unbekannte größer oder kleiner als eine Zahl ist, können wir sie darauf beschränken, zwischen zwei Grenzen zu liegen.

 

Beispiel

Eine klassische zusammengesetzte Ungleichung könnte so aussehen:

 

$$ \large 1 < x < 5 $$

 

Das bedeutet, dass \( \large x \) größer als 1 und gleichzeitig kleiner als 5 sein muss. Die Lösung sind also alle Zahlen zwischen 1 und 5.

 

 

Zwei Arten von zusammengesetzten Ungleichungen

Und-Ungleichungen (Schnittmenge): bei denen beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen. Zum Beispiel:

 

$$ \large x > 0 \; \text{und} \; x < 10 $$

 

Oder-Ungleichungen (Vereinigung): bei denen es genügt, wenn eine der Bedingungen erfüllt ist. Zum Beispiel:

 

$$ \large x < -2 \; \text{oder} \; x > 3 $$

 

 

Lösen von zusammengesetzten Ungleichungen

Um eine zusammengesetzte Ungleichung zu lösen, arbeitet man Schritt für Schritt mit beiden Seiten, genauso wie bei einer normalen Ungleichung.

 

Beispiel:

 

$$ \large 2 < 3x + 1 < 8 $$

 

Wir subtrahieren überall 1:

 

$$ \large 2 - 1 < 3x < 8 - 1 $$

$$ \large 1 < 3x < 7 $$

 

Wir dividieren überall durch 3:

 

$$ \large \frac{1}{3} < x < \frac{7}{3} $$

 

Die Lösung sind also alle Zahlen zwischen \( \large \frac{1}{3} \) und \( \large \frac{7}{3} \).

 

 

Beispiel mit "oder"

Wenn wir eine Ungleichung wie diese haben:

 

$$ \large x \leq -4 \quad \text{oder} \quad x > 2 $$

 

Dann bedeutet das, dass die Lösung aus zwei Intervallen besteht: alle Zahlen kleiner oder gleich -4 oder alle Zahlen größer als 2. Hier ist es nicht zusammenhängend, sondern zwei getrennte Intervalle.

 

 

Zusammenfassung

• Zusammengesetzte Ungleichungen kombinieren zwei Ungleichungen zu einer einzigen Bedingung.
• Sie können entweder „Und“-Ungleichungen (beide Bedingungen müssen erfüllt sein) oder „Oder“-Ungleichungen sein (es genügt, wenn eine erfüllt ist).
• Sie werden gelöst, indem man mit beiden Seiten genauso arbeitet wie mit einer normalen Ungleichung.
• Die Lösung ist oft ein Intervall – oder mehrere Intervalle.