Quadratische Ungleichungen

Eine quadratische Ungleichung ist eine Ungleichung, in der die Unbekannte im Quadrat vorkommt.

Sie ähnelt einer quadratischen Gleichung, aber anstelle eines Gleichheitszeichens verwenden wir ein Ungleichheitszeichen.

Beispiel

Wir betrachten die folgende Ungleichung:

$$ \large x^2 - 4 < 0 $$

Hier fragen wir: Für welche Werte von $ \large x $ gilt $ \large x^2 - 4 $ kleiner als 0?

Methode

Um eine quadratische Ungleichung zu lösen, bestimmen wir zuerst die Nullstellen der entsprechenden quadratischen Gleichung:

$$ \large x^2 - 4 = 0 $$

Dies ergibt:

$$ \large x = -2 \quad \text{oder} \quad x = 2 $$

Die beiden Nullstellen teilen die Zahlengerade in drei Intervalle:

Intervall 1: $ \large x < -2 $
Intervall 2: $ \large -2 < x < 2 $
Intervall 3: $ \large x > 2 $

Bestimmen, wo die Ungleichung gilt

Wir wählen eine Probezahl in jedem Intervall und prüfen, ob die Ungleichung erfüllt ist:

Für $ \large x = -3 $:

$ \large (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \quad $ Nicht kleiner als 0.

Für $ \large x = 0 $:

$ \large 0^2 - 4 = -4 \quad $ Kleiner als 0 = Intervall gilt.

Für $ \large x = 3 $:

$ \large 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \quad $ Nicht kleiner als 0.

Die Lösung lautet also:

$$ \large -2 < x < 2 $$

Beispiel mit Diskriminante

Wir betrachten die Ungleichung:

$$ \large x^2 + x - 6 < 0 $$

Zuerst bestimmen wir die Diskriminante:

$$ \large D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 $$

Die Nullstellen der entsprechenden quadratischen Gleichung sind:

$$ \large x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} $$

$$ \large x = -3 \quad \text{oder} \quad x = 2 $$

Nun prüfen wir die drei Intervalle:

Für $ \large x = -4 $:

$ \large (-4)^2 + (-4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 \quad $ Nicht kleiner als 0.

Für $ \large x = 0 $:

$ \large 0^2 + 0 - 6 = -6 \quad $ Kleiner als 0 = Intervall gilt.

Für $ \large x = 3 $:

$ \large 3^2 + 3 - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 \quad $ Nicht kleiner als 0.

Die Lösung lautet also:

$$ \large -3 < x < 2 $$

Beispiel mit getrennten Intervallen

Wir betrachten nun die Ungleichung:

$$ \large x^2 - 4 > 0 $$

Die Nullstellen sind dieselben: $ \large x = -2 $ und $ \large x = 2 $. Die Zahlengerade wird in drei Intervalle geteilt.

Wir prüfen erneut:

Für $ \large x = -3 $:

$ \large (-3)^2 - 4 = 5 \quad $ Größer als 0 = Intervall gilt.

Für $ \large x = 0 $:

$ \large 0^2 - 4 = -4 \quad $ Nicht größer als 0.

Für $ \large x = 3 $:

$ \large 3^2 - 4 = 5 \quad $ Größer als 0 = Intervall gilt.

Die Lösung besteht also aus zwei getrennten Intervallen:

$$ \large x < -2 \quad \text{oder} \quad x > 2 $$

Beispiel ohne Lösung

Manche quadratische Ungleichungen haben überhaupt keine Lösung. Wir betrachten:

$$ \large x^2 + 1 < 0 $$

Die Funktion $ \large x^2 + 1 $ ist immer mindestens 1, da $ \large x^2 \geq 0 $. Sie kann daher niemals kleiner als 0 sein.

Fazit: Es gibt keine Werte von $ \large x $, die diese Ungleichung erfüllen.

Allgemeine Methode

Stelle die Ungleichung in der Form $ \large ax^2 + bx + c \; \lessgtr \; 0 $ auf.
Bestimme die Diskriminante: $ \large D = b^2 - 4ac $.
Berechne die Nullstellen der entsprechenden quadratischen Gleichung.
Untersuche die Intervalle, die durch die Nullstellen entstehen, um festzustellen, wo die Ungleichung gilt.
Wenn die Diskriminante negativ ist, gibt es keine Lösungen (wie im Beispiel ohne Lösung).

Zusammenfassung

Quadratische Ungleichungen ähneln quadratischen Gleichungen, aber die Lösung ist ein Intervall oder mehrere Intervalle.
Die Nullstellen teilen die Zahlengerade in Intervalle, die mit Probewerten getestet werden.
Die Lösung kann ein Intervall, zwei Intervalle oder keine sein.
Eine negative Diskriminante kann zeigen, dass es keine Lösungen gibt.