Gleichungen

Eine mathematische Gleichung ist ein Ausdruck, der ein Gleichheitszeichen und eine Unbekannte enthält. Die Unbekannte wird in der Regel \( \large x \) genannt.

Eine Gleichung kann so aussehen:

 

$$ \large x + 6 = 10 $$

 

Hier fragen wir: Welche Zahl muss \( \large x \) sein, damit die Rechnung stimmt?

 

\( \large x \) isolieren

Um \( \large x \) zu finden, müssen wir sie allein auf eine Seite des Gleichheitszeichens stellen. Das nennt man \( \large x \) isolieren.

In der Gleichung steht \( \large +6 \) zusammen mit \( \large x \). Um \( \large +6 \) zu entfernen, ziehen wir 6 auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens ab:

 

$$ \large x + 6 - 6 = 10 - 6 $$

 

Wenn wir 6 abziehen, verschwindet das \( \large +6 \) auf der linken Seite, und wir erhalten:

 

$$ \large x = 4 $$

 

"Dasselbe wie"

Wenn wir jeden Schritt einer Lösung aufschreiben, benutzen wir das Symbol für "dasselbe wie":

 

$$ \Large \Leftrightarrow $$

 

Das zeigt, dass jeder Schritt nur eine Umformung derselben Gleichung ist.

 

Die Lösung kann daher so aufgeschrieben werden:

 

$$ \large x + 6 = 10 \Leftrightarrow $$

$$ \large x + 6 - 6 = 10 - 6 \Leftrightarrow $$

$$ \large x = 4 $$

 

Das Ergebnis ist also \( \large x = 4 \). Wir können die Antwort immer überprüfen, indem wir sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzen:

 

$$ \large 4 + 6 = 10 $$

 

Das stimmt.

 

Beispiel mit Multiplikation

Sehen wir uns nun eine andere Art von Gleichung an:

 

$$ \large 2x = 10 $$

 

Hier müssen wir \( \large x \) allein stehen haben. Im Moment ist \( \large x \) mit 2 multipliziert. Um das zu entfernen, teilen wir beide Seiten durch 2:

 

$$ \large \tfrac{2x}{2} = \tfrac{10}{2} $$

 

Das ergibt:

 

$$ \large x = 5 $$

 

Wir können die Antwort überprüfen, indem wir \( \large x = 5 \) in die ursprüngliche Gleichung einsetzen:

 

$$ \large 2 \cdot 5 = 10 $$

 

Das ist auch korrekt.