Eine Gleichung dritten Grades hat die allgemeine Form:

 

$$ \large ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $$

$$ \large a \neq 0 $$

 

Hier sind \( \large a, b, c, d \) Konstanten, und \( \large x \) ist die Unbekannte. Da die höchste Potenz drei ist, nennt man dies eine kubische Gleichung.

 

Wie löst man eine kubische Gleichung?

Es gibt keine einfache Lösungsformel wie bei quadratischen Gleichungen. Stattdessen verwendet man verschiedene Methoden, je nachdem, wie die Gleichung aussieht.

 

 

1. Eine offensichtliche Wurzel finden

Manchmal kann man eine Lösung raten, indem man einfache Zahlen ausprobiert, z. B. \( \large x = -2, -1, 0, 1, 2 \). Ergibt dies 0, hat man eine Wurzel gefunden.

 

Beispiel:

 

$$ \large x^3 - x = 0 $$

 

Hier kann man \( \large x \) ausklammern:

 

$$ \large x(x^2 - 1) = 0 $$

 

Das ergibt drei Lösungen:

 

$$ \large x = 0 $$

$$ \large x = 1 $$

$$ \large x = -1 $$

 

 

2. Polynomdivision

Wenn man eine Wurzel findet, kann man die Polynomdivision verwenden, um die kubische Gleichung auf eine quadratische zu reduzieren. Diese kann man dann mit der Diskriminante und der Lösungsformel berechnen.

 

Beispiel:

 

$$ \large x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 $$

 

Wir raten \( \large x = 1 \) und setzen ein:

 

$$ \large 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 - 6 \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large 1 - 6 + 11 - 6 \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large 0 $$

 

Also ist \( \large x = 1 \) eine Wurzel. Wir teilen das Polynom durch \( \large (x-1) \):

 

$$ \large x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \quad : \quad (x - 1) \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large x^2 - 5x + 6 $$

 

Nun haben wir eine quadratische Gleichung:

 

$$ \large x^2 - 5x + 6 = 0 $$

 

Die Diskriminante ist:

 

$$ \large D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large D = 25 - 24 \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large D = 1 $$

 

Die Lösungen sind:

 

$$ \large x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large x = \frac{5 \pm 1}{2} $$

 

Also:

$$ \large x = 2 $$

$$ \large x = 3 $$

 

Zusammen mit \( \large x = 1 \) haben wir drei Lösungen.

 

 

3. Grafische Methode

Man kann immer den Graphen von \( \large f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) zeichnen und ablesen, wo er die x-Achse schneidet. Das entspricht den Nullstellen.

 

Ein kubischer Graph kann eine oder drei reelle Nullstellen haben. Er hat immer mindestens eine, weil er auf der einen Seite nach \( -\infty \) und auf der anderen nach \( +\infty \) verläuft.

 

 

Cardanos Methode

Es gibt tatsächlich eine allgemeine Lösungsformel für kubische Gleichungen. Sie wurde im 16. Jahrhundert von den Italienern Tartaglia und Cardano entdeckt.

 

Die Idee ist zuerst, das \( \large x^2 \)-Glied zu eliminieren. Dies geschieht mit einer Substitution:

 

$$ \large x = y - \frac{b}{3a} $$

 

Danach erhält man eine reduzierte kubische Gleichung in der Form:

 

$$ \large y^3 + py + q = 0 $$

 

Cardanos Formel in der Praxis

Wir betrachten die Gleichung:

 

$$ \large x^3 - 6x - 9 = 0 $$

 

Sie ist bereits in reduzierter Form, also setzen wir \( \large p = -6 \), \( \large q = -9 \).

 

Diskriminante:

 

$$ \large \Delta = \Bigl(\frac{q}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{p}{3}\Bigr)^3 \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large \Delta = \Bigl(-\frac{9}{2}\Bigr)^2 + (-2)^3 \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large \Delta = \frac{81}{4} - 8 \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large \Delta = \frac{49}{4} $$

 

\( \large \Delta > 0 \), also gibt es eine reelle Lösung.

 

Cardanos Formel:

 

$$ \large y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}} \;+\; \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\Delta}} $$

 

Setzen wir \( \large q = -9 \), \( \large \sqrt{\Delta} = \frac{7}{2} \) ein:

 

$$ \large y = \sqrt[3]{\frac{9}{2} + \frac{7}{2}} + \sqrt[3]{\frac{9}{2} - \frac{7}{2}} \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large y = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{1} \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large y = 2 + 1 \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large y = 3 $$

 

Also ist \( \large x = 3 \) eine reelle Wurzel.

 

Die restlichen Wurzeln:

 

$$ \large x^3 - 6x - 9 = (x-3)(x^2 + 3x + 3) $$

 

Die quadratische Faktor liefert die Diskriminante:

 

$$ \large D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large D = 9 - 12 \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large D = -3 $$

 

Also sind die beiden restlichen Wurzeln komplex:

 

$$ \large x = \frac{-3 \pm i\sqrt{3}}{2} $$

 

Insgesamt sind die Lösungen:

 

$$ \large x = 3 \quad \text{(reell)} $$

$$ \large x = \frac{-3 \pm i\sqrt{3}}{2} \quad \text{(nicht reell)} $$

 

Hinweis: Wenn es drei reelle Lösungen gibt, kann Cardanos Formel dennoch verwendet werden, aber die Rechnung führt durch komplexe Zahlen, auch wenn das Endergebnis reell ist. Dies nennt man casus irreducibilis.

 

Casus irreducibilis – drei reelle Wurzeln

Wenn \( \large \Delta < 0 \), gibt es drei reelle Wurzeln. In diesem Fall kann man eine trigonometrische Methode mit Kosinus verwenden.

 

Beispiel:

 

$$ \large x^3 - 3x + 1 = 0 $$

 

Hier ist \( \large p = -3 \), \( \large q = 1 \).

 

Wir setzen:

 

$$ \large x = 2\sqrt{\frac{-p}{3}} \cos(\theta) $$

 

und bestimmen den Winkel über:

 

$$ \large \cos(3\theta) = \frac{-q}{2} \cdot \sqrt{\frac{-27}{p^3}} $$

 

Setzen wir \( \large p=-3 \), \( \large q=1 \) ein:

 

$$ \large \cos(3\theta) = \frac{-1}{2} \cdot \sqrt{\frac{-27}{(-3)^3}} \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large \cos(3\theta) = \frac{-1}{2} \cdot \sqrt{1} \quad \Leftrightarrow $$

$$ \large \cos(3\theta) = -\frac{1}{2} $$

 

Also gilt:

 

$$ \large 3\theta = 120^\circ, \; 240^\circ, \; 480^\circ $$

 

Daraus folgt:

 

$$ \large \theta = 40^\circ, \; 80^\circ, \; 160^\circ $$

 

Nun setzen wir in ein:

 

$$ \large x = 2\sqrt{\frac{-p}{3}} \cos(\theta) $$

 

Da \( \large p=-3 \), ergibt sich \( \large 2\sqrt{1} = 2 \), also:

 

$$ \large x_1 = 2\cos(40^\circ) \approx 1,53 $$

$$ \large x_2 = 2\cos(80^\circ) \approx 0,35 $$

$$ \large x_3 = 2\cos(160^\circ) \approx -1,88 $$

 

Damit sieht man deutlich drei reelle Lösungen, ohne durch komplexe Zahlen zu gehen.

 

Zusammenfassung

• Eine kubische Gleichung hat die Form \( \large ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \).
• Man kann Wurzeln finden, indem man eine rät, faktorisiert oder Polynomdivision verwendet.
• Grafisch sieht man immer, dass es mindestens eine reelle Wurzel gibt.
• Cardanos Formel liefert eine allgemeine Methode, ist aber technisch und wird selten in der Praxis genutzt.
• Wenn \( \large \Delta > 0 \): eine reelle Wurzel. Wenn \( \large \Delta = 0 \): mehrere Wurzeln fallen zusammen. Wenn \( \large \Delta < 0 \): drei reelle Wurzeln (casus irreducibilis).
• Im casus irreducibilis kann man eine trigonometrische Kosinus-Formel verwenden, um alle drei Wurzeln zu berechnen.