Lineare Gleichung

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte $ \large x $ nur in der ersten Potenz vorkommt, also $ \large x^1 $. Das bedeutet, dass kein $ \large x^2 $, $ \large x^3 $ oder höhere Potenzen von $ \large x $ auftreten dürfen, und $ \large x $ darf auch nicht im Nenner stehen.

Eine lineare Gleichung kann immer in dieser Form geschrieben oder umgeschrieben werden:

$$ \large ax + b = 0 $$

Wenn man $ \large ax $ sieht, bedeutet es eigentlich $ \large a \cdot x $.

$$ \large ax = a \cdot x $$

Die Gleichung erscheint in Aufgaben nicht immer genau so. Sie kann zum Beispiel so aussehen:

$$ \large 8 + 2x = 16 $$

Oder so:

$$ \large 2(x + 4) = 10 $$

Beides sind lineare Gleichungen, weil sie in die Form $ \large ax + b = 0 $ umgeschrieben werden können.

Beispiel einer Lösung

Nehmen wir die Gleichung:

$$ \large 2(x + 10) = 4x $$

Zuerst multiplizieren wir in die Klammer hinein:

$$ \large 2 \cdot x + 2 \cdot 10 = 4 \cdot x \Leftrightarrow $$

$$ \large 2x + 20 = 4x $$

Dann isolieren wir $ \large x $:

$$ \large 2x-2x + 20 = 4x-2x \Leftrightarrow $$

$$ \large 20 = 2x $$

Wir teilen beide Seiten durch $ \large 2 $:

$$ \large \frac{20}{2} = \frac{2x}{2} \Leftrightarrow $$

$$ \large 10 = x $$

Das Ergebnis ist $ \large x = 10 $.

Rechenregeln

Beim Lösen linearer Gleichungen darf man folgende Regeln anwenden:

Man darf auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addieren.
Man darf auf beiden Seiten dieselbe Zahl subtrahieren.
Man darf beide Seiten mit derselben Zahl multiplizieren.
Man darf beide Seiten durch dieselbe Zahl dividieren (solange sie nicht 0 ist).

Wichtig ist, dass man beide Seiten immer gleich behandelt, damit die Gleichheit erhalten bleibt.

Was ist keine lineare Gleichung?

Zur Unterscheidung ist es hilfreich, Beispiele zu betrachten, die keine linearen Gleichungen sind:

Hier erscheint $ \large x^2 $, also ist es eine quadratische Gleichung:

$$ \large x^2 + 3x = 0 $$

Hier steht $ \large x $ im Nenner, also ist es keine lineare Gleichung:

$$ \large \tfrac{1}{x} = 2 $$

Wie viele Lösungen?

Eine lineare Gleichung hat normalerweise eine Lösung, aber es gibt zwei Sonderfälle:

Keine Lösung:

$$ \large 2x + 3 = 2x + 5 $$

Dies reduziert sich zu

$$ \large 3 = 5 $$

was niemals wahr sein kann.

Unendlich viele Lösungen:

$$ \large 2x + 3 = 2x + 3 $$

Dies reduziert sich zu

$$ \large 3 = 3 $$

was immer wahr ist, unabhängig davon, welchen Wert $ \large x $ hat.

Zusammenfassung

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der $ \large x $ nur in der ersten Potenz vorkommt. Sie kann immer in die Form $ \large ax + b = 0 $ umgeschrieben werden. Man löst sie Schritt für Schritt, indem man $ \large x $ mithilfe der Rechenregeln isoliert. Normalerweise gibt es eine Lösung, aber es kann auch keine oder unendlich viele geben.