Ungleichungen
Eine Ungleichung ähnelt einer Gleichung, aber anstelle eines Gleichheitszeichens \(\large =\) verwendet man ein Ungleichheitszeichen. Das bedeutet, dass wir nicht nach einem Punkt suchen, an dem beide Seiten gleich sind, sondern untersuchen, wann die eine Seite größer oder kleiner ist als die andere.
Symbole
Es gibt vier gebräuchliche Ungleichheitszeichen:
- \( \large < \) bedeutet "kleiner als"
- \( \large > \) bedeutet "größer als"
- \( \large \leq \) bedeutet "kleiner oder gleich"
- \( \large \geq \) bedeutet "größer oder gleich"
Beispiel
Die Gleichung \( \large x = 5 \) hat nur eine Lösung: \( \large x = 5 \).
Die Ungleichung \( \large x > 5 \) hat dagegen viele Lösungen: Alle Zahlen größer als 5 erfüllen die Ungleichung.
Verschiedene Ungleichungen
Ungleichungen können sehr unterschiedlich aussehen, je nachdem, wie die Unbekannte vorkommt.
Die einfachsten sind lineare Ungleichungen, bei denen die Unbekannte nur in der ersten Potenz vorkommt, zum Beispiel:
$$ \large 2x+3 < 7 $$
Komplexer sind zusammengesetzte Ungleichungen, bei denen zwei Ungleichungen zu einer Bedingung verbunden werden, wie in:
$$ \large 1 < x < 5 $$
Schließlich gibt es quadratische Ungleichungen, bei denen die Unbekannte in der zweiten Potenz vorkommt, zum Beispiel:
$$ \large x^2 - 4 \geq 0 $$
In diesem Fall ist die Lösung keine einzelne Zahl, sondern ein ganzes Intervall von Werten.