Lineare Ungleichungen
Eine lineare Ungleichung ähnelt einer linearen Gleichung, aber anstelle eines Gleichheitszeichens haben wir ein Ungleichheitszeichen.
Das bedeutet, dass die Lösung nicht eine bestimmte Zahl ist, sondern oft ein ganzes Intervall von Werten.
Beispiele
Eine einfache lineare Ungleichung könnte sein:
$$ \large 2x + 3 < 7 $$
Hier suchen wir nach den Werten von \( \large x \), die die linke Seite kleiner als 7 machen.
Methode
Man löst eine lineare Ungleichung fast auf die gleiche Weise wie eine lineare Gleichung: Wir isolieren die Unbekannte, indem wir auf beiden Seiten dieselben Rechenregeln anwenden.
$$ \large 2x + 3 < 7 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large 2x < 7 - 3 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large 2x < 4 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large x < 2 $$
Die Lösung sind also alle Werte von \( \large x \), die kleiner als 2 sind.
Wichtig bei Vorzeichen
Eine wichtige Regel für Ungleichungen ist, dass man beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen umkehren muss.
Beispiel:
$$ \large -3x > 9 $$
Wir teilen durch \( \large -3 \), aber denken daran, das Zeichen umzudrehen:
$$ \large x < -3 $$
Weitere Beispiele
Beispiel 1:
$$ \large 5x - 7 \geq 3 $$
$$ \large 5x \geq 10 \quad \Leftrightarrow \quad x \geq 2 $$
Beispiel 2:
$$ \large 4 - 2x \leq 10 $$
$$ \large -2x \leq 6 $$
Teilen wir durch \( \large -2 \), müssen wir das Zeichen umkehren:
$$ \large x \geq -3 $$
Kontrolle
Man kann eine Ungleichung immer überprüfen, indem man einen Wert aus der Lösung und einen Wert außerhalb der Lösung einsetzt.
Wenn die Lösung \( \large x < 2 \) war:
Probiere \( \large x = 0 \):
\( \large 2\cdot 0 + 3 = 3 < 7 \quad \). Wahr.
Probiere \( \large x = 3 \):
\( \large 2\cdot 3 + 3 = 9 < 7 \quad \). Falsch.
Zusammenfassung
- Eine lineare Ungleichung ähnelt einer linearen Gleichung, aber die Lösung ist oft ein Intervall von Werten.
- Man löst sie, indem man die Unbekannte Schritt für Schritt isoliert.
- Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl muss das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden.
- Man kann das Ergebnis immer überprüfen, indem man Testwerte einsetzt.