Ungleichungen mit Beträgen
Eine Ungleichung mit Absolutwert handelt vom Abstand zu 0. Denke daran, dass der Absolutwert einer Zahl immer größer oder gleich 0 ist.
Die Definition lautet:
$$ \large |x| = \begin{cases} x & \text{wenn } x \geq 0 \\ -x & \text{wenn } x < 0 \end{cases} $$
Beispiel 1
Wir betrachten die Ungleichung:
$$ \large |x| < 3 $$
Hier fragen wir: Wann liegt \( \large x \) weniger als 3 Einheiten von 0 entfernt?
Die Antwort ist alle Zahlen zwischen -3 und 3:
$$ \large -3 < x < 3 $$
Beispiel 2
Nun betrachten wir:
$$ \large |x+1| > 2 $$
Das bedeutet hier, dass der Abstand von \( \large x \) zu -1 größer als 2 sein muss.
Das ergibt zwei mögliche Intervalle:
$$ \large x+1 < -2 \quad \text{oder} \quad x+1 > 2 $$
Also:
$$ \large x < -3 \quad \text{oder} \quad x > 1 $$
Beispiel 3
Wir betrachten die Ungleichung:
$$ \large |2x-4| \leq 6 $$
Hier muss der Ausdruck höchstens 6 Einheiten von 0 entfernt sein. Das wird umgeschrieben zu:
$$ \large -6 \leq 2x-4 \leq 6 $$
Wir lösen Schritt für Schritt:
$$ \large -6+4 \leq 2x \leq 6+4 $$
$$ \large -2 \leq 2x \leq 10 $$
$$ \large -1 \leq x \leq 5 $$
Beispiel 4 (keine Lösung)
Manchmal hat eine Absolutwertungleichung keine Lösung. Zum Beispiel:
$$ \large |x+2| < -1 $$
Aber ein Absolutwert kann niemals negativ sein, also hat diese Ungleichung keine Lösung.
Allgemeine Methode
- Stelle die Ungleichung mit Absolutwert auf.
- Schreibe sie um in eine zusammengesetzte Ungleichung (bei "<" oder "≤") oder in zwei getrennte Ungleichungen (bei ">" oder "≥").
- Löse die Ungleichungen Schritt für Schritt.
- Überprüfe das Ergebnis, indem du Testwerte einsetzt.
- Denk daran: Ein Absolutwert kann niemals negativ sein. Wenn die Ungleichung dies verlangt, gibt es keine Lösung.
Zusammenfassung
- Ungleichungen mit Absolutwert handeln vom Abstand zu 0 oder einem anderen Punkt.
- Bei "<" oder "≤" erhält man typischerweise ein Intervall.
- Bei ">" oder "≥" erhält man typischerweise zwei getrennte Intervalle.
- Manchmal gibt es keine Lösung.