Ungleichungen mit Brüchen

Bei Ungleichungen, in denen die Unbekannte in einem Bruch steht, muss man besonders aufmerksam sein. Vor allem, weil der Nenner niemals 0 sein darf, und weil der Bruch sein Vorzeichen ändern kann, je nach den Werten von Zähler und Nenner.

Beispiel 1

Wir betrachten die Ungleichung:

$$ \large \frac{1}{x} > 0 $$

Der Nenner darf nicht 0 sein, also $ \large x \neq 0 $.

Für $ \large x = -1 $:

$ \large \frac{1}{-1} = -1 \quad$ Nicht größer als 0.

Für $ \large x = 1 $:

$ \large \frac{1}{1} = 1 \quad$ Größer als 0 = das Intervall gilt.

Die Lösung ist also:

$$ \large x > 0 $$

Beispiel 2

Nun betrachten wir:

$$ \large \frac{x}{x-1} < 0 $$

Der Nenner darf nicht 0 sein, also $ \large x \neq 1 $.

Für $ \large x = -1 $:

$ \large \frac{-1}{-1-1} = \frac{-1}{-2} = \tfrac{1}{2} \quad$ Nicht kleiner als 0.

Für $ \large x = 0 $:

$ \large \frac{0}{0-1} = 0 $ Nicht kleiner als 0.

Für $ \large x = 2 $:

$ \large \frac{2}{2-1} = \frac{2}{1} = 2 \quad$ Nicht kleiner als 0.

Für $ \large x = \tfrac{1}{2} $:

$ \large \frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}-1} = \frac{0,5}{-0,5} = -1 \quad$ Kleiner als 0 = das Intervall gilt.

Die Lösung ist also:

$$ \large 0 < x < 1 $$

Beispiel 3

Eine etwas komplexere Ungleichung:

$$ \large \frac{x+1}{x-2} \geq 0 $$

Der Nenner darf nicht 0 sein, also $ \large x \neq 2 $.

Der Zähler liefert die Nullstelle $ \large x = -1 $. Der Nenner liefert die Grenze $ \large x = 2 $. Die Zahlengerade wird in drei Intervalle geteilt, die wir untersuchen:

Für $ \large x = -2 $:

$ \large \frac{-2+1}{-2-2} = \frac{-1}{-4} = \tfrac{1}{4} \geq 0 \quad$ Wahr.

Für $ \large x = 0 $:

$ \large \frac{0+1}{0-2} = \frac{1}{-2} = -\tfrac{1}{2} \quad$ Nicht größer oder gleich 0.

Für $ \large x = 3 $:

$ \large \frac{3+1}{3-2} = \frac{4}{1} = 4 \geq 0 \quad$ Wahr.

Die Lösung ist also:

$$ \large x \leq -1 \quad \text{oder} \quad x > 2 $$

Zusammenfassung

Bei Ungleichungen mit Brüchen muss man immer daran denken, dass der Nenner nicht 0 sein darf.
Der Bruch ändert sein Vorzeichen, wenn Zähler oder Nenner ihr Vorzeichen ändern.
Zuerst bestimmt man die Nullstellen und Grenzpunkte und testet dann die Intervalle, in die die Zahlengerade geteilt wird.
Die Lösung kann ein oder mehrere Intervalle sein, abhängig von den Vorzeichen.