Quadratische Gleichung
Eine quadratische Gleichung kann immer in die Form gebracht oder umgeschrieben werden:
$$ \large ax^2 + bx + c = 0 $$
Sie heißt quadratische Gleichung, weil es ein Glied gibt, in dem \( \large x \) in zweiter Potenz steht: \( \large ax^2 \).
Wenn \( \large a = 0 \), ist es keine quadratische Gleichung, weil \( \large 0x^2 = 0 \), und damit verschwindet das Glied. Zurück bleibt eine lineare Gleichung.
Beispiele für quadratische Gleichungen:
$$ \large 40 + 2x = 2x^2 $$
$$ \large x(x - 5) - 14 = 0 $$
Beide sind quadratische Gleichungen, weil sie in die Form umgeschrieben werden können:
$$ \large ax^2 + bx + c = 0 $$
Wobei \( \large a \neq 0 \).
Die Diskriminante
Es kann schwierig sein, \( \large x \) in einer quadratischen Gleichung zu isolieren, so wie man es bei einer linearen Gleichung tut.
Daher verwenden wir die Diskriminante, die uns sowohl hilft, die Lösungen zu finden, als auch festzustellen, wie viele Lösungen es gibt.
Die Diskriminante \( \large D \) wird mit dieser Formel berechnet:
$$ \large D = b^2 - 4ac $$
- Wenn \( \large D > 0 \), gibt es zwei Lösungen.
- Wenn \( \large D = 0 \), gibt es eine Lösung.
- Wenn \( \large D < 0 \), gibt es keine Lösungen in den reellen Zahlen.
Beispiel: Finde die Diskriminante
Wir sollen die Lösungen der Gleichung berechnen:
$$ \large x(x - 5) - 14 = 0 $$
Zuerst multiplizieren wir die Klammer aus:
$$ \large x \cdot x - 5 \cdot x - 14 = 0 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large x^2 - 5x - 14 = 0 $$
Hier sehen wir, dass es sich um eine quadratische Gleichung handelt, also berechnen wir die Diskriminante:
$$ \large D = b^2 - 4ac \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large D = 25 - (-56) \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large D = 81 $$
Die Diskriminante ist positiv, also gibt es zwei Lösungen.
Die Lösungsformel
Wenn wir die Diskriminante haben, können wir die Lösungen mit dieser Formel finden:
$$ \large x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$
\( \large \pm \) ist ein Plus/Minus-Zeichen. Wenn es zwei Lösungen gibt, müssen wir zweimal rechnen: einmal mit Plus und einmal mit Minus.
Lösung 1 (Plus):
$$ \large x = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} $$
$$ \large x = \frac{5 + 9}{2} $$
$$ \large x = 7 $$
Lösung 2 (Minus):
$$ \large x = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} $$
$$ \large x = \frac{5 - 9}{2} $$
$$ \large x = -2 $$
Kontrolle
Es ist immer eine gute Idee, das Ergebnis zu überprüfen, indem man die Lösungen in die ursprüngliche Gleichung einsetzt:
$$ \large x(x - 5) - 14 = 0 $$
Kontrolle von Lösung 1:
$$ \large x = 7 $$
$$ \large 7(7 - 5) - 14 = 0 \Leftrightarrow $$
$$ \large 49 - 35 - 14 = 0 $$
Das ist richtig.
Kontrolle von Lösung 2:
$$ \large x = -2 $$
$$ \large -2(-2 - 5) - 14 = 0 \Leftrightarrow $$
$$ \large 4 - (-10) - 14 = 0 $$
Das ist richtig.
Besondere Fälle
Einige quadratische Gleichungen sind leichter zu lösen als andere, weil ein Glied fehlt.
Wenn \( \large b = 0 \):
Dann hat die Gleichung die Form:
$$ \large ax^2 + c = 0 $$
Wir können \( \large x^2 \) isolieren:
$$ \large x^2 = -\frac{c}{a} $$
Hier können wir die Quadratwurzel ziehen und zwei Lösungen finden (wenn die rechte Seite positiv ist):
$$ \large x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} $$
Wenn \( \large c = 0 \):
Dann hat die Gleichung die Form:
$$ \large ax^2 + bx = 0 $$
Hier können wir \( \large x \) vor eine Klammer setzen:
$$ \large x(ax + b) = 0 $$
Das ergibt zwei Lösungen:
$$ \large x = 0 \quad \text{oder} \quad x = -\frac{b}{a} $$
Diese Methode heißt Faktorisierung und kann die Aufgabe oft schneller machen.
Zusammenfassung
- Eine quadratische Gleichung hat die Form \( \large ax^2 + bx + c = 0 \), wobei \( \large a \neq 0 \).
- Die Diskriminante \( \large D = b^2 - 4ac \) bestimmt die Anzahl der Lösungen.
- Die Lösungsformel lautet \( \large x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
- Wenn \( \large D > 0 \), gibt es zwei Lösungen. Wenn \( \large D = 0 \), gibt es eine Lösung. Wenn \( \large D < 0 \), gibt es keine reellen Lösungen.
- Die Ergebnisse können immer überprüft werden, indem man sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.