Mængdeoperationer

Mængdeoperationer er metoder til at kombinere eller sammenligne mængder. Her ser vi på union, fællesmængde (snit), disjunkte mængder, differens, komplementærmængder og hvordan disse kan visualiseres med Venn-diagrammer.

 

Union

Unionen af to mængder \( \large A\) og \( \large B\) er mængden af alle elementer, der er i enten \( \large A\) eller \( \large B\) (eller begge). Det skrives som:

 

$$ \large A \cup B = \{x \mid x \in A \;\vee\; x \in B\} $$

 

Eksempel: Hvis \( \large A = \{1,2,3\}\) og \( \large B = \{3,4,5\}\), så er \( \large A \cup B = \{1,2,3,4,5\}\).

 

 

 

 

Fællesmængde (Snit)

Fællesmængden af to mængder er de elementer, som de har tilfælles. Det skrives som:

 

$$ \large A \cap B = \{x \mid x \in A \;\wedge\; x \in B\} $$

 

Eksempel: Hvis \( \large A = \{1,2,3\}\) og \( \large B = \{3,4,5\}\), så er \( \large A \cap B = \{3\}\).

 

 

 

 

Disjunkte mængder

To mængder er disjunkte, hvis de ikke har nogen fælles elementer. Det vil sige, at deres snit er tomt:

 

$$ \large A \cap B = \emptyset $$

 

Eksempel: \( \large A = \{1,2,3\}, B = \{4,5,6\}\).

 

 

 

 

Differens

Differensen af to mængder \( \large A\) og \( \large B\), skrevet som \( \large A - B\) eller \( \large A \setminus B\), er de elementer, der er i \( \large A\), men ikke i \( \large B\):

 

$$ \large A - B = \{x \mid x \in A \;\wedge\; x \notin B\} $$

 

Eksempel: Hvis \( \large A = \{1,2,3\}, B = \{3,4,5\}\), så er \( \large A - B = \{1,2\}\).

 

 

 

 

Komplementærmængde

Hvis vi har et univers \( \large U\), der indeholder alle mulige elementer, kan vi definere komplementæret til en mængde \( \large A\) som alle de elementer i \( \large U\), der ikke er i \( \large A\). Det skrives som:

 

$$ \large A^{c} = \{x \in U \mid x \notin A\} $$

 

Eksempel: Hvis \( \large U = \{1,2,3,4,5\}\) og \( \large A = \{1,2\}\), så er \( \large A^{c} = \{3,4,5\}\).

 

 

Komplementærmængde

 

 

Venn-diagrammer

Venn-diagrammer bruges ofte til at illustrere mængdeoperationer grafisk.

Cirkler repræsenterer mængder, og overlappende områder viser, hvordan union, snit, differens og komplement fungerer.

 

 

 

 

 

 

Formler

Logiske symboler

$$ \begin{array}{rl} \forall & = \; \text{for all} \\[12pt] \exists & = \; \text{there exists} \\[12pt] \wedge & = \; \text{and} \\[12pt] \vee & = \; \text{or} \\[12pt] \neg & = \; \text{not} \\[12pt] \Rightarrow & = \; \text{if ... then} \\[12pt] \Leftrightarrow & = \; \text{if and only if} \end{array} $$

Notation

$$ \begin{array}{rl} a \in A & = \; \text{element $a$ is in the set $A$} \\[12pt] a \notin A & = \; \text{element $a$ is not in the set $A$} \\[12pt] A = B & = \; \text{$A$ is equal to $B$} \\[12pt] A \subseteq B & = \; \text{$A$ is a subset of $B$} \\[12pt] A \subset B & = \; \text{$A$ is a proper subset of $B$} \\[12pt] A \supseteq B & = \; \text{$A$ is a superset of $B$} \\[12pt] A \supset B & = \; \text{$A$ is a proper superset of $B$} \\[12pt] A \cup B & = \; \text{union of $A$ and $B$} \\[12pt] A \cap B & = \; \text{intersection of $A$ and $B$} \\[12pt] A \setminus B & = \; \text{difference of $A$ and $B$} \\[12pt] A^c & = \; \text{complement of $A$} \\[12pt] |A| & = \; \text{cardinality of $A$} \\[12pt] \varnothing & = \; \text{empty set} \end{array} $$