Kardinalitet og uendeligheder

Kardinalitet handler om at måle, hvor mange elementer der er i en mængde. For endelige mængder er det simpelt: kardinaliteten er bare antallet af elementer. For uendelige mængder bliver det mere interessant, fordi ikke alle uendeligheder er lige store.

Endelige mængder

Hvis $ \large A = \{1,2,3,4\}$, er kardinaliteten:

$$ \large |A| = 4 $$

Her er der blot tale om almindelig optælling af elementer.

Tælbare uendelige mængder

En mængde er tælbar uendelig, hvis dens elementer kan opstilles i en liste, så hvert element får et nummer: $1,2,3,\ldots$. Det vil sige, at der findes en entydig sammenhæng mellem mængden og de naturlige tal $ \large \mathbb{N}$.

Eksempler:

De naturlige tal: $ \large \mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots\}$.
De hele tal: $ \large \mathbb{Z} = \{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$.
De rationale tal: $ \large \mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} \,\middle|\, p,q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\right\}$.

Alle disse mængder er uendelige, men de kan alligevel opstilles i en liste, hvilket gør dem tælbare.

Utælbare mængder

Nogle mængder er så store, at de ikke kan opstilles i en liste. De kaldes utælbare. Det klassiske eksempel er mængden af reelle tal $ \large \mathbb{R}$.

Man kan vise, at selv mellem 0 og 1 findes der uendelig mange reelle tal, og at de ikke kan nummereres. Dette blev bevist af Georg Cantor med det berømte diagonaliseringstrick.

Cantors diagonalisering

Antag, at vi kunne opstille alle reelle tal mellem 0 og 1 i en liste:

0.12345...

0.45012...

0.99999...

0.30147...

0.77777...

...

Vi tager nu den diagonale række af cifre: $1, 5, 9, 4, 7, \ldots$. For hvert af disse cifre laver vi en ændring, fx ved at lægge 1 til (og erstatte 9 med 0).

Dermed konstrueres et nyt tal:

$$ \large 0.26058\ldots $$

Dette tal er forskelligt fra alle på listen, fordi det adskiller sig i mindst ét ciffer fra hvert tal (det diagonale ciffer). Derfor kan der ikke eksistere en fuldstændig liste over de reelle tal i intervallet $[0,1]$. Mængden af reelle tal er altså utælbar.

Størrelser af uendelighed

Kardinaliteten af de naturlige tal betegnes $ \large \aleph_0$ (alef-nul). Alle tælbare uendelige mængder har denne kardinalitet.

Kardinaliteten af de reelle tal er større og kaldes kontinuitetens kardinalitet, ofte skrevet som $ \large \mathfrak{c}$.

Dermed findes der flere “størrelser” af uendelighed: en uendelig mængde kan godt være “mindre” end en anden uendelig mængde, målt ved kardinalitet.

Kontinuumhypotesen

Vi har set, at de naturlige tal $ \large \mathbb{N}$ har kardinalitet $ \large \aleph_0$, og at de reelle tal $ \large \mathbb{R}$ har en større kardinalitet, kaldet kontinuumet $ \large \mathfrak{c}$.

Kontinuumhypotesen (CH) stiller spørgsmålet: findes der en mængde, hvis kardinalitet ligger imellem de to?

$$ \large \aleph_0 < |X| < \mathfrak{c} \;? $$

Hvis en sådan mængde findes, ville den være “større” end de tælbare uendeligheder, men stadig “mindre” end de reelle tal. Cantor troede, at svaret var nej, altså at der ikke findes nogen mængde med en kardinalitet mellem $ \aleph_0$ og $ \mathfrak{c}$. Dette kaldes den oprindelige kontinuumhypotese.

Problemet er berømt, fordi det ikke kan afgøres inden for de almindelige regler for mængdelære. Disse regler kaldes ZFC (Zermelo–Fraenkel mængdelære med Udvælgelsesaksiomet) og bruges som fundament for moderne matematik. Gödel viste i 1940, at kontinuumhypotesen ikke kan modbevises i ZFC, og Cohen viste i 1963, at den heller ikke kan bevises. Det betyder, at hypotesen er uafgørlig i ZFC.

Med andre ord: Kontinuumhypotesen er et spørgsmål, som ikke kan besvares med de aksiomer, vi normalt bygger matematik på. Man kan godt vælge at udvide sit system og antage, at hypotesen er sand, eller at den er falsk – begge dele er matematikalsk konsistente.

Derfor er det et af de mest fascinerende eksempler på spørgsmål, der ligger lige på grænsen af, hvad vi kan bevise.