Mængdelære er læren om samlinger af objekter, som i matematik kaldes for mængder.

En mængde består af elementer, for eksempel tal, bogstaver eller andre matematiske objekter. Idéen er enkel, men den danner grundlag for store dele af diskret matematik, logik og datalogi.

 

Hvad er en mængde

En mængde er en samling af elementer. Vi siger, at en mængde består af dens elementer. Hvis vi har en mængde A med elementerne 1, 2 og 3, kan vi skrive:

 

$$ \large A = \{1, 2, 3\} $$

 

 

Notation

Hvis et element er med i en mængde, skrives det med symbolet \( \large \in\). Hvis elementet ikke er med, bruges symbolet \( \large \notin\).

 

• \(\large a \in A\) betyder, at elementet \( \large a\) er i mængden \( \large A\).
• \(\large a \notin A\) betyder, at elementet \( \large a\) ikke er i mængden \( \large A\).

 

 

Logiske symboler

I mængdelæren bruges der også ofte logiske symboler til at skrive definitioner mere præcist:

 

• \( \large \forall \) betyder "for alle".
• \( \large \exists \) betyder "der findes".
• \( \large \wedge \) betyder "og".
• \( \large \vee \) betyder "eller".
• \( \large \Rightarrow \) betyder "hvis … så".
• \( \large \Leftrightarrow \) betyder "hvis og kun hvis".

 

 

Flere notationer

Nogle notationer bruges ofte i forbindelse med funktioner og talmængder:

 

• \( \large \lfloor x \rfloor \): gulv-funktionen, det største heltal der er mindre end eller lig \( \large x \).
• \( \large \lceil x \rceil \): loft-funktionen, det mindste heltal der er større end eller lig \( \large x \).
• Intervaller:
  • \( \large [a,b] \): inklusiv både \( \large a \) og \( \large b \).
  • \( \large [a,b[ \): inklusiv \( \large a \), men eksklusiv \( \large b \).
  • \( \large ]a,b] \): eksklusiv \( \large a \), men inklusiv \( \large b \).

 

 

Den tomme mængde

En mængde kan også være tom. Den tomme mængde indeholder ingen elementer og skrives som:

 

$$ \large \emptyset \quad \text{eller} \quad \{\} $$

 

Eksempel: Mængden af hele småkager i en tom kagedåse er en tom mængde.

 

 

Ens mængder

To mængder er ens, hvis de indeholder præcis de samme elementer. Rækkefølgen er ligegyldig, og gentagelser tæller ikke.

Eksempel:

 

$$ \large A = \{1, 2, 3, 4, 5\}, \quad B = \{5, 4, 3, 2, 1\} $$

 

Her gælder \( \large A = B \), da begge mængder indeholder de samme elementer.

 

 

Kardinalitet

Kardinaliteten af en mængde betyder antallet af forskellige elementer i mængden. Det skrives som \( \large |A|\).

Eksempler:

 

• Hvis \( \large A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\), så er \(|A| = 5\).
• Hvis \( \large B = \{1, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3\}\), så er \(|B| = 5\), fordi gentagelser ikke tælles med.

 

De vigtige talmængder

I matematik opdeles tal i forskellige vigtige mængder:

 

• \( \large \mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\} \), mængden af naturlige tal.
• \( \large \mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\} \), mængden af heltal.
• \( \large \mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} \,\middle|\, p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\right\} \), mængden af rationale tal.
• \( \large \mathbb{R} \), mængden af reelle tal.
• \( \large \mathbb{C} \), mængden af komplekse tal.

 

Bemærk: Der er forskellige konventioner for, om 0 hører med i de naturlige tal.