Mængdelove
Mængdelove beskriver de grundlæggende regler for, hvordan mængdeoperationer fungerer. Disse love svarer ofte til de velkendte regler fra algebra og logik og giver os værktøjer til at forenkle og manipulere udtryk med mængder.
Identitetslove
Identitetslovene beskriver, hvordan union og fællesmængde virker med den tomme mængde og universet \( \large U\):
$$ \large A \cup \emptyset = A $$
$$ \large A \cap U = A $$
Disse love viser, at den tomme mængde ikke tilføjer noget til unionen, og at universet ikke fjerner noget fra snittet.
Kommutative, associative og distributive love
Disse love viser, at rækkefølgen og grupperingen af operationer ikke ændrer resultatet:
- Kommutativitet:
$$ \large A \cup B = B \cup A, \quad A \cap B = B \cap A $$
- Associativitet:
$$ \large (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) $$
$$ \large (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) $$
- Distributivitet:
$$ \large A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) $$
$$ \large A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) $$
De Morgan’s love
De Morgan’s love forbinder union og fællesmængde med komplement:
$$ \large (A \cup B)^c = A^c \cap B^c $$
$$ \large (A \cap B)^c = A^c \cup B^c $$
Disse love er vigtige i både mængdelære og logik.
Absorptionslove
Absorptionslovene beskriver, hvordan en mængde kombineret med en operation på sig selv og en anden mængde forenkles:
$$ \large A \cup (A \cap B) = A $$
$$ \large A \cap (A \cup B) = A $$
Generalisering til flere mængder
Mange af mængdelovene kan udvides til flere end to mængder. For eksempel gælder:
$$ \large A \cup (B \cup C \cup D) = (A \cup B) \cup (C \cup D) $$
$$ \large A \cap (B \cap C \cap D) = (A \cap B) \cap (C \cap D) $$
Denne generalisering viser, at de fleste love ikke kun gælder for to mængder, men kan udstrækkes til et vilkårligt antal.