Relationer som delmængder af kartesiske produkter
En relation beskriver en sammenhæng mellem elementer i en eller flere mængder. I mængdelæren defineres en relation som en delmængde af et kartesisk produkt.
Definition
Hvis vi har to mængder \( \large A\) og \( \large B\), er en relation \( \large R\) fra \( \large A\) til \( \large B\) en delmængde af \( \large A \times B\):
$$ \large R \subseteq A \times B $$
Det betyder, at en relation består af udvalgte ordnede par \((a,b)\), hvor \( \large a \in A\) og \( \large b \in B\).
Eksempler
- Mindre-end relationen: \( \large R = \{(a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid a < b\}\).
- Lighedsrelationen: \( \large R = \{(a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \mid a = b\}\).
- Divisibilitet: \( \large R = \{(a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \mid a \text{ dividerer } b\}\).
Egenskaber ved relationer
Refleksiv
En relation er refleksiv, hvis hvert element er i relation til sig selv:
$$ \large (a,a) \in R \quad \text{for alle } a \in A $$
Eksempel:
Lad \( \large A = \{1,2,3\}\) og relationen \( \large R = \{(1,1),(2,2),(3,3)\}\).
Denne relation er refleksiv, fordi alle elementer står i relation til sig selv.
Symmetrisk
En relation er symmetrisk, hvis den virker begge veje:
$$ \large (a,b) \in R \;\Rightarrow\; (b,a) \in R $$
Eksempel:
Lad \( \large A = \{\text{Anna}, \text{Bo}\}\) og relationen \( \large R = \{(\text{Anna},\text{Bo}),(\text{Bo},\text{Anna})\}\).
Dette kan tolkes som relationen “er gift med” og er symmetrisk, fordi hvis Anna er gift med Bo, så er Bo også gift med Anna.
Antisymmetrisk
En relation er antisymmetrisk, hvis det kun kan ske, at begge par findes, når elementerne er ens:
$$ \large (a,b) \in R \;\wedge\; (b,a) \in R \;\Rightarrow\; a=b $$
Eksempel:
Lad \( \large A = \{1,2,3\}\) og relationen \( \large R = \{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\).
Her er der ikke noget par som både har \((1,2)\) og \((2,1)\), så relationen er antisymmetrisk.
Transitiv
En relation er transitiv, hvis den kan “kædes sammen”:
$$ \large (a,b) \in R \;\wedge\; (b,c) \in R \;\Rightarrow\; (a,c) \in R $$
Eksempel:
Lad \( \large A = \{1,2,3\}\) og relationen \( \large R = \{(1,2),(2,3),(1,3)\}\).
Her gælder transitivitet, fordi fra \((1,2)\) og \((2,3)\) følger også \((1,3)\).
Eksempel: ækvivalensrelation
En relation, der er refleksiv, symmetrisk og transitiv, kaldes en ækvivalensrelation. Den opdeler en mængde i ækvivalensklasser, hvor alle elementer er indbyrdes relaterede.
Eksempel: Relation "har samme rest ved division med 3" på \( \large \mathbb{Z}\):
$$ \large R = \{(a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \mid a \equiv b \pmod{3}\} $$
Dette opdeler \( \large \mathbb{Z}\) i tre klasser: tal der giver rest 0, rest 1 og rest 2.
Betydning og anvendelser
Relationer er fundamentale, fordi de beskriver, hvordan objekter kan forbindes. De bruges blandt andet i:
- Grafer, hvor kanter er relationer mellem knuder.
- Databaser, hvor tabeller kan ses som relationer mellem datafelter.
- Matematisk logik, hvor relationer udtrykker sammenhænge mellem udsagn.
At forstå relationer er et vigtigt skridt på vejen til at arbejde med funktioner, der netop er særlige relationer.