Anvendelser af kartesiske produkter og relationer

Kartesiske produkter og relationer er ikke kun teoretiske begreber, men har en lang række praktiske anvendelser i matematik, datalogi og hverdagens problemstillinger.

 

 

Koordinatsystemer

Det klassiske todimensionale koordinatsystem er bygget på det kartesiske produkt. Hvis vi tager to talmængder, fx \( \large \mathbb{R} \times \mathbb{R}\), får vi planen, hvor hvert punkt repræsenteres af et ordnet par \((x,y)\).

 

Eksempel: Punktet \( \large (3,5)\) repræsenterer koordinaterne \( \large x=3\) og \( \large y=5\) i planen.

 

 

Grafer og netværk

En graf kan ses som en relation på en mængde af krydspunkter.

Hvis \( \large V\) er mængden af krydspunkter, kan en kant beskrives som et element i \( \large V \times V\). Hele kanten-mængden \( \large E\) er altså en relation, der fortæller, hvilke krydspunkter der er forbundet.

 

Eksempel: Hvis \( \large V = \{\text{A},\text{B},\text{C}\}\) og \( \large E = \{(A,B),(B,C)\}\), betyder det, at der er en forbindelse fra A til B og fra B til C.

 

 

Databaser

I databaser repræsenterer en tabel en relation. Hvis vi fx har en mængde af kunder og en mængde af varer, kan der defineres en relation, der viser, hvilke kunder der har bestilt hvilke varer.

 

Eksempel: Hvis \( \large K = \{\text{Ida}, \text{Bo}\}\) og \( \large V = \{101, 102\}\), kan en relation være \( \large R = \{(\text{Ida},101),(\text{Bo},102),(\text{Bo},101)\}\).

Det betyder, at Ida har bestilt vare 101, mens Bo har bestilt både 101 og 102.

 

 

Matematisk logik

Relationer bruges i logik til at udtrykke sammenhænge mellem udsagn. Fx kan “implikation” ses som en relation mellem to sandhedsværdier.

 

Eksempel: I mængden af sandhedsværdier \( \large \{\text{sand}, \text{falsk}\}\) kan implikationen \( \large p \Rightarrow q\) opfattes som en relation, der kun er falsk i tilfældet \( \large (p=\text{sand}, q=\text{falsk})\).

 

 

Kombinatorik og sandsynlighed

Når man regner på mulige kombinationer, fx i sandsynlighedsregning, anvendes kartesiske produkter til at beskrive alle mulige udfald.

 

Eksempel: Hvis man kaster en terning \( \large T = \{1,2,3,4,5,6\}\) og spinner et lykkehjul med tre felter \( \large H = \{A,B,C\}\), er udfaldsrummet:

 

$$ \large T \times H = \{(1,A),(1,B),(1,C),\ldots,(6,A),(6,B),(6,C)\} $$

 

Her er der \( \large 6 \times 3 = 18\) mulige udfald.

 

 

Betydning

Kartesiske produkter og relationer fungerer som bindeled mellem det abstrakte og det konkrete.

De giver matematikken en formel ramme til at beskrive forbindelser mellem objekter, og de er samtidig nødvendige redskaber i moderne teknologi, datalogi og statistik.