Ubestemt integral

Det ubestemte integral beskriver den omvendte proces af differentiation. Hvor differentialregning måler, hvordan en funktion ændrer sig, fortæller integralregning, hvilken funktion der giver en bestemt ændringsrate. Man kalder resultatet en stamfunktion.

 

 

Stamfunktion og notation

Hvis en funktion \( \large F(x) \) har den afledte \( \large F'(x)=f(x) \), siger man, at \( \large F \) er en stamfunktion til \( \large f \). Man skriver:

 

$$ \large \int f(x)\,dx \;=\; F(x) + C $$

 

Her er \( \large C \) en integrationskonstant, som repræsenterer, at mange forskellige funktioner kan have samme afledte. Konstanten har ingen indflydelse på hældningen, men forskyder grafen lodret.

 

 

Eksempel 1: Grundlæggende potensregel

Find stamfunktionen til \( \large f(x) = x^n \), hvor \( \large n \neq -1 \). Man leder efter en funktion \( \large F \), der differentieret giver \( \large x^n \). Det giver:

 

$$ \large \int x^n\,dx \;=\; \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$

 

Ved at lægge 1 til eksponenten og dividere med den nye eksponent finder man den generelle stamfunktion for potenser af \( \large x \).

 

 

Eksempel 2: Sum og konstantfaktor

Hvis funktionen består af flere led, kan man integrere hvert led for sig. Der gælder:

 

$$ \large \int \big(f(x) + g(x)\big)\,dx \;=\; \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx $$

$$ \large \int k \cdot f(x)\,dx \;=\; k \cdot \int f(x)\,dx $$

 

Disse regler gør det muligt at finde stamfunktioner for selv sammensatte udtryk ved at arbejde led for led.

 

 

Eksempel 3: Anvendt beregning

Find stamfunktionen til \( \large f(x) = 3x^2 - 4x + 1 \):

 

$$ \large \int (3x^2 - 4x + 1)\,dx \;=\; x^3 - 2x^2 + x + C $$

 

Den resulterende funktion \( \large F(x) = x^3 - 2x^2 + x + C \) har netop den afledte \( \large F'(x)=3x^2 - 4x + 1 \).

 

 

Kontrol ved differentiation

En god måde at tjekke sit resultat på er at differentiere stamfunktionen igen. Hvis man får den oprindelige funktion \( \large f(x) \), er beregningen korrekt. Dette viser også, hvordan integral- og differentialregning er omvendte operationer.

 

 

Betydningen af integrationskonstanten

Den ubestemte integral-familie består af uendeligt mange funktioner, som alle kun adskiller sig ved en konstant. Konstanten \( \large C \) har geometrisk betydning som en lodret forskydning: alle stamfunktionerne har samme form, men ligger i forskellige højder på koordinatsystemet.

 

 

Opsummering

Det ubestemte integral bruges til at finde stamfunktioner, altså de funktioner, hvis afledte svarer til en given \( \large f(x) \). Integrationen “vender” dermed differentiationen. Hver stamfunktion adskiller sig kun ved en konstant, og korrektheden kan altid kontrolleres ved at differentiere resultatet.