Regneregler for integraler

For at kunne løse integraler mere effektivt er der en række regneregler, som minder om dem fra differentialregningen. De gør det muligt at integrere sammensatte udtryk trin for trin uden at skulle vende tilbage til definitionen hver gang.

 

 

1. Konstantfaktorregel

En konstant kan altid trækkes ud foran integraltegnet. Hvis \( \large k \) er en konstant og \( \large f(x) \) en funktion, gælder:

 

$$ \large \int k \cdot f(x)\,dx \;=\; k \cdot \int f(x)\,dx $$

 

Eksempel:

$$ \large \int 5x^3\,dx \;=\; 5 \cdot \int x^3\,dx \;=\; 5 \cdot \frac{x^4}{4} + C \;=\; \tfrac{5}{4}x^4 + C $$

 

 

2. Sum og differens

Integrationen fordeler sig over plus og minus. Det betyder, at man kan integrere hvert led for sig:

 

$$ \large \int \big(f(x) \pm g(x)\big)\,dx \;=\; \int f(x)\,dx \;\pm\; \int g(x)\,dx $$

 

Eksempel:

$$ \large \int (3x^2 - 2x + 4)\,dx \;=\; x^3 - x^2 + 4x + C $$

 

 

3. Potensregel

Potensreglen er den mest grundlæggende formel og gælder for alle \( \large n \neq -1 \):

 

$$ \large \int x^n\,dx \;=\; \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$

 

Eksempel:

$$ \large \int x^4\,dx \;=\; \frac{x^5}{5} + C $$

 

 

4. Logaritmisk regel

Når eksponenten er \( \large -1 \), gælder en særlig regel, fordi potensreglen ikke kan bruges. Her fremkommer den naturlige logaritme:

 

$$ \large \int \frac{1}{x}\,dx \;=\; \ln|x| + C $$

 

 

5. Eksponentialfunktioner

Integralet af en eksponentialfunktion med base \( \large e \) er igen en eksponentialfunktion:

 

$$ \large \int e^x\,dx \;=\; e^x + C $$

 

Hvis eksponenten er en lineær funktion \( \large ax \), justeres resultatet med \( \large \frac{1}{a} \):

 

$$ \large \int e^{ax}\,dx \;=\; \frac{1}{a}e^{ax} + C $$

 

 

6. Trigonometriske funktioner

De vigtigste integraler for sinus og cosinus er:

 

$$ \large \int \sin x\,dx \;=\; -\cos x + C $$

$$ \large \int \cos x\,dx \;=\; \sin x + C $$

 

 

7. Sammensatte funktioner (kædereglen baglæns)

Hvis funktionen består af et indre udtryk, som er differentieret udenfor, kan man integrere “baglæns” med substitution (som behandles senere). En simpel form er:

 

$$ \large \int f'(x)\,f(x)^n\,dx \;=\; \frac{f(x)^{n+1}}{n+1} + C $$

 

Eksempel:

$$ \large \int 2x(x^2 + 1)^3\,dx \;=\; \frac{(x^2 + 1)^4}{4} + C $$

 

 

Opsummering

Regnereglerne gør det muligt at finde integraler hurtigt og sikkert. Konstantfaktor-, sum- og potensreglerne bruges i næsten alle beregninger. De danner fundamentet for de mere avancerede metoder som substitution og delvis integration.