Integrationsteknikker

Når regnereglerne ikke er nok, findes der mere avancerede metoder til at håndtere sammensatte funktioner. De to vigtigste er substitution og delvis integration. De gør det muligt at forenkle komplicerede integraler ved at omskrive dem til enklere former.

 

 

Substitution

Substitution bruges, når et integral indeholder en sammensat funktion, hvor en del af udtrykket kan betragtes som en ny variabel. Metoden er i princippet kædereglen "baglæns".

 

 

Idéen bag substitution

Hvis man kan identificere et indre udtryk \( \large u = g(x) \), og resten af integranden indeholder \( \large g'(x)\,dx \), kan man erstatte hele udtrykket med en ny variabel \( \large u \). Derefter integrerer man i forhold til \( \large u \) i stedet for \( \large x \).

 

$$ \large \int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx \;=\; \int f(u)\,du $$

 

 

 

 

Eksempel 1: Substitution af indre funktion

Find \( \large \int 2x(x^2 + 1)^3\,dx \)

 

Vi sætter \( \large u = x^2 + 1 \), så \( \large du = 2x\,dx \). Dermed bliver:

 

$$ \large \int 2x(x^2 + 1)^3\,dx \;=\; \int u^3\,du \;=\; \frac{u^4}{4} + C \;=\; \frac{(x^2 + 1)^4}{4} + C $$

 

Substitutionen forenkler altså integranden, så den kan integreres direkte med potensreglen.

 

 

Eksempel 2: Eksponentialfunktion

Find \( \large \int e^{3x}\,dx \).

 

Her sætter vi \( \large u = 3x \), så \( \large du = 3\,dx \) eller \( \large dx = \frac{du}{3} \):

 

$$ \large \int e^{3x}\,dx \;=\; \frac{1}{3}\int e^u\,du \;=\; \frac{1}{3}e^u + C \;=\; \frac{1}{3}e^{3x} + C $$

 

Substitutionen sikrer, at man korrekt håndterer den indre afledte, så resultatet bliver konsistent.

 

 

Delvis integration

Delvis integration bruges, når integranden er et produkt af to funktioner, hvor man kender den ene afledte og den andens stamfunktion. Metoden stammer direkte fra produktreglen i differentialregning, anvendt "baglæns".

 

 

Formel

$$ \large \int u\,dv \;=\; u \cdot v - \int v\,du $$

 

Man vælger typisk \( \large u \) som den funktion, der bliver enklere, når den differentieres, og \( \large dv \) som den del, der let kan integreres.

 

 

Eksempel 3: Polynomium gange eksponentialfunktion

Find \( \large \int x e^x\,dx \)

 

Vælg \( \large u = x \Rightarrow du = dx \) og \( \large dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x \). Så får vi:

 

$$ \large \int x e^x\,dx \;=\; x e^x - \int e^x\,dx \;=\; e^x(x - 1) + C $$

 

 

Eksempel 4: Produkt af \( \large x \) og cosinus

Find \( \large \int x \cos x\,dx \)

 

Vælg \( \large u = x \Rightarrow du = dx \) og \( \large dv = \cos x\,dx \Rightarrow v = \sin x \):

 

$$ \large \int x \cos x\,dx \;=\; x \sin x - \int \sin x\,dx \;=\; x \sin x + \cos x + C $$

 

 

Valg af metode

Substitution anvendes, når en indre funktion genkendes i derivationen udenfor, mens delvis integration bruges, når man har et produkt, hvor ingen direkte substitution virker. De to metoder supplerer hinanden og dækker tilsammen langt de fleste almindelige integraler.

 

 

Opsummering

Integrationsteknikkerne udvider de basale regneregler. Substitution gør det muligt at håndtere sammensatte funktioner ved at indføre en ny variabel, mens delvis integration håndterer produkter. Sammen gør de det muligt at løse komplekse integraler på en systematisk måde.