Differentierbarhed
For at kunne differentiere en funktion skal den være differentierbar. Det betyder, at funktionen har en veldefineret hældning i hvert punkt. Ikke alle funktioner opfylder dette — nogle har spring, spidser eller knæk, hvor den afledte ikke findes.
Hvornår er en funktion differentierbar
En funktion \( \large f(x) \) er differentierbar i et punkt \( \large x_0 \), hvis den afledte eksisterer dér, dvs. hvis grænseværdien
$$ \large f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$
giver det samme resultat, uanset om man nærmer sig fra venstre eller højre. Hvis venstre og højre hældning ikke stemmer overens, findes der ingen tangent — og dermed ingen afledt.
En funktion, som er differentierbar i hele sit definitionsområde, kaldes glat. Alle polynomier og eksponentialfunktioner er glatte, mens fx absolutværdi-funktionen \( \large f(x) = |x| \) ikke er det, fordi den har et knæk i origo.
Sammenhæng mellem kontinuitet og differentierbarhed
Hvis en funktion er differentierbar, er den også kontinuert — men det omvendte gælder ikke nødvendigvis. Man kan altså godt have en funktion, der er glat nok til at kunne tegnes uden afbrydelser, men som alligevel ikke kan differentieres overalt. Et klassisk eksempel er \( \large f(x) = |x| \): den er kontinuert, men ikke differentierbar i \( \large x = 0 \).
Regneregler for differentiation
Når man skal finde afledte funktioner, er det sjældent nødvendigt at gå tilbage til definitionen. I stedet bruger man et sæt faste regneregler, som gør beregningen hurtig og systematisk. Disse regler gælder for alle differentiable funktioner.
1. Konstantregel
Den afledte af en konstant er altid nul:
$$ \large (k)' = 0 $$
Eksempel: Hvis \( \large f(x) = 7 \), så er \( \large f'(x) = 0 \).
2. Potensregel
Den vigtigste regel er potensreglen:
$$ \large (x^n)' = n \cdot x^{n-1} $$
Eksempel: \( \large (x^4)' = 4x^3 \) og \( \large (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
3. Konstant faktor-regel
En konstant faktor kan trækkes ud foran:
$$ \large (k \cdot f(x))' = k \cdot f'(x) $$
Eksempel: \( \large (3x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x \).
4. Sum- og differensregel
Den afledte af en sum (eller differens) er summen (eller differensen) af de afledte:
$$ \large (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) $$
Eksempel: \( \large (x^3 + 5x)' = 3x^2 + 5 \).
5. Produktregel
Når to funktioner ganges sammen, differentieres den ene ad gangen:
$$ \large (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) $$
Eksempel: Hvis \( \large f(x) = x^2 \) og \( \large g(x) = \sin x \), så bliver
$$ \large (x^2 \cdot \sin x)' = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x $$
6. Kvotientregel
Ved brøker gælder en tilsvarende regel:
$$ \large \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2} $$
Eksempel: \( \large \left( \frac{x^2}{x+1} \right)' = \frac{2x(x+1) - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2} \).
7. Kædereglen
Når en funktion består af en anden funktion, bruges kædereglen:
$$ \large (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
Eksempel: \( \large (\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot 3 = 3 \cdot \cos(3x) \).
Grafiske og praktiske konsekvenser
De syv regler gør det muligt at differentiere langt de fleste funktioner, man møder i praksis. De viser også, at den afledte ikke blot er et abstrakt værktøj, men et system, der kan håndtere selv komplekse sammenhænge — fra simple polynomier til sammensatte eksponential- og trigonometriske funktioner.
Eksempel: kombinerede funktioner
Find den afledte af \( \large f(x) = (2x^2 + 3x) \cdot e^x \).
Her skal både produktreglen og sumreglen bruges:
$$ \large f'(x) = (4x + 3) \cdot e^x + (2x^2 + 3x) \cdot e^x = e^x \cdot (2x^2 + 7x + 3) $$
Man kan altså differentiere selv en ret kompleks funktion ved at kombinere nogle få simple regler.
Opsummering
En funktion er differentierbar, hvis den har en veldefineret tangent i hvert punkt. Når funktionen er differentierbar, kan man bruge regnereglerne til hurtigt at finde den afledte uden at bruge grænseværdidefinitionen. Disse regler er rygraden i al videre arbejde med differentialregning.