Afledte af almindelige funktioner

De fleste funktioner, man møder i praksis, har kendte afledte. Når man kender disse standardafledte, kan man hurtigt finde den afledte af mere sammensatte funktioner ved hjælp af regnereglerne. Her gennemgås de mest centrale funktionstyper: polynomier, potensfunktioner, eksponentialfunktioner, logaritmer og trigonometriske funktioner.

 

 

Polynomier og potensfunktioner

Potensreglen er grundlaget for næsten alle polynomier. Hvis

 

$$ \large f(x) = x^n $$

 

så gælder:

 

$$ \large f'(x) = n \cdot x^{n-1} $$

 

Eksempler:

 

$$ \large (x^3)' = 3x^2 \qquad (x^{-2})' = -2x^{-3} \qquad (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

 

Hvis polynomiet består af flere led, differentieres hvert led for sig. For eksempel:

 

$$ \large f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 6x^2 - 10x + 3 $$

 

 

Eksponentialfunktioner

Eksponentialfunktioner beskriver mange naturlige processer som vækst, henfald og renteudvikling. For den naturlige eksponentialfunktion gælder:

 

$$ \large (e^x)' = e^x $$

 

Det betyder, at funktionen \( \large e^x \) er sin egen afledte — den ændrer sig med samme hastighed, som dens aktuelle værdi. For en generel eksponentialfunktion gælder:

 

$$ \large (a^x)' = a^x \cdot \ln(a) $$

 

Eksempel:

 

$$ \large (2^x)' = 2^x \cdot \ln(2) $$

 

Hvis eksponenten selv er en funktion, bruges kædereglen. For eksempel:

 

$$ \large (e^{3x})' = 3e^{3x} \qquad (2^{x^2})' = 2^{x^2} \cdot \ln(2) \cdot 2x $$

 

 

Logaritmefunktioner

Den naturlige logaritmefunktion \( \large \ln(x) \) er den inverse til \( \large e^x \). Dens afledte er:

 

$$ \large (\ln x)' = \frac{1}{x} $$

 

For en logaritme med en anden base \( \large a \) gælder:

 

$$ \large (\log_a x)' = \frac{1}{x \cdot \ln(a)} $$

 

Eksempel:

 

$$ \large (\log_{10} x)' = \frac{1}{x \cdot \ln(10)} $$

 

 

Trigonometriske funktioner

De trigonometriske funktioner beskriver vinkler og bevægelse i cirkelbaner. Deres afledte følger et fast mønster:

 

$$ \large (\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x \qquad (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} $$

 

Eksempler på sammensatte funktioner:

 

$$ \large (\sin(2x))' = 2\cos(2x) \qquad (\cos(3x^2))' = -6x \sin(3x^2) $$

 

 

Kombinerede funktioner

Ved at kombinere disse standardafledte med regnereglerne kan man håndtere selv meget komplekse funktioner. For eksempel:

 

$$ \large f(x) = e^x \cdot \sin x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = e^x \cdot \sin x + e^x \cdot \cos x = e^x(\sin x + \cos x) $$

 

Eller med logaritme og potensfunktion:

 

$$ \large f(x) = x^2 \ln x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 2x \ln x + x $$

 

 

Opsummering

Tabel over de mest almindelige afledte funktioner:

 

Funktion	Afledt funktion
\( \large x^n \)	\( \large n \cdot x^{n-1} \)
\( \large e^x \)	\( \large e^x \)
\( \large a^x \)	\( \large a^x \cdot \ln(a) \)
\( \large \ln(x) \)	\( \large \frac{1}{x} \)
\( \large \sin(x) \)	\( \large \cos(x) \)
\( \large \cos(x) \)	\( \large -\sin(x) \)
\( \large \tan(x) \)	\( \large \frac{1}{\cos^2(x)} \)

 

 

Disse standardafledte danner grundstammen i al videre arbejde med differentialregning. De bruges til at bestemme hældninger, finde ekstremum, løse optimeringsproblemer og analysere kurver. Når man mestrer disse, bliver det at differentiere selv komplicerede funktioner et spørgsmål om rutine.