Cálculo diferencial

El cálculo diferencial es una de las disciplinas más fundamentales del análisis. Se ocupa de cómo cambia una magnitud y se utiliza para describir y predecir variaciones en sistemas físicos, biológicos y económicos.

 

Una idea central del cálculo diferencial es determinar la tasa de cambio instantánea de una función — es decir, qué tan rápido cambia su valor en un punto específico. Esto se expresa mediante la función derivada, que describe la pendiente de la línea tangente que toca la gráfica en dicho punto.

 

 

Relación con el límite y la continuidad

Para hablar de la tasa de cambio, es necesario examinar cómo se comporta una función cuando la variable de entrada se aproxima a un cierto valor. Aquí se usa el concepto de límite. Además, una función debe ser continua para poder derivarse, lo que significa que su gráfica puede trazarse sin interrupciones ni saltos.

 

$$ \large f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

 

Esta fórmula muestra que el cálculo diferencial es una extensión natural del concepto de límite: se calcula la pendiente como el límite de la pendiente de la secante cuando dos puntos de la gráfica se acercan entre sí.

 

Diferenciación

Diferenciar significa determinar la función derivada \( \large f'(x) \), que describe qué tan rápido cambia \( \large f(x) \) con respecto a \( \large x \). Si \( \large f(x) \) representa una distancia, \( \large f'(x) \) representa la velocidad; si \( \large f(x) \) representa una temperatura, \( \large f'(x) \) muestra el cambio de temperatura con el tiempo.

 

 

Contexto histórico

El cálculo diferencial fue desarrollado a finales del siglo XVII por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. Ambos formularon de manera independiente los principios de lo que hoy llamamos cálculo. Aunque su notación era diferente, describían el mismo fenómeno: la relación entre movimiento, velocidad y cambio.

 

 

Intuición: secante, tangente y tasa de cambio

Imagina la gráfica de una función \( \large f(x) \). Si se conectan dos puntos de la gráfica con una línea recta, se obtiene una secante. La pendiente de la secante indica la tasa de cambio promedio entre los puntos. A medida que los puntos se acercan, la secante se aproxima a una línea que toca la gráfica en un solo punto — la tangente.

 

La pendiente de esta tangente en un punto se llama la tasa de cambio instantánea y es exactamente el valor que el cálculo diferencial busca determinar. Describe cómo cambia la función exactamente en ese punto.