Derivadas de funciones comunes

La mayoría de las funciones que se encuentran en la práctica tienen derivadas conocidas. Al conocer estas derivadas estándar, es posible encontrar rápidamente la derivada de funciones más complejas utilizando las reglas de derivación. A continuación se presentan los tipos de funciones más importantes: polinomios, funciones de potencia, funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

 

 

Polinomios y funciones de potencia

La regla de la potencia es la base de casi todos los polinomios. Si

 

$$ \large f(x) = x^n $$

 

entonces se cumple:

 

$$ \large f'(x) = n \cdot x^{n-1} $$

 

Ejemplos:

 

$$ \large (x^3)' = 3x^2 \qquad (x^{-2})' = -2x^{-3} \qquad (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

 

Si el polinomio consta de varios términos, cada uno se deriva por separado. Por ejemplo:

 

$$ \large f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 6x^2 - 10x + 3 $$

 

 

Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales describen muchos procesos naturales como el crecimiento, la desintegración y el interés compuesto. Para la función exponencial natural se cumple:

 

$$ \large (e^x)' = e^x $$

 

Esto significa que \( \large e^x \) es su propia derivada — cambia a la misma velocidad que su valor actual. Para una función exponencial general se cumple:

 

$$ \large (a^x)' = a^x \cdot \ln(a) $$

 

Ejemplo:

 

$$ \large (2^x)' = 2^x \cdot \ln(2) $$

 

Si el exponente en sí mismo es una función, se aplica la regla de la cadena. Por ejemplo:

 

$$ \large (e^{3x})' = 3e^{3x} \qquad (2^{x^2})' = 2^{x^2} \cdot \ln(2) \cdot 2x $$

 

 

Funciones logarítmicas

La función logarítmica natural \( \large \ln(x) \) es la inversa de \( \large e^x \). Su derivada es:

 

$$ \large (\ln x)' = \frac{1}{x} $$

 

Para un logaritmo con otra base \( \large a \):

 

$$ \large (\log_a x)' = \frac{1}{x \cdot \ln(a)} $$

 

Ejemplo:

 

$$ \large (\log_{10} x)' = \frac{1}{x \cdot \ln(10)} $$

 

 

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas describen ángulos y movimientos circulares. Sus derivadas siguen un patrón fijo:

 

$$ \large (\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x \qquad (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} $$

 

Ejemplos de funciones compuestas:

 

$$ \large (\sin(2x))' = 2\cos(2x) \qquad (\cos(3x^2))' = -6x \sin(3x^2) $$

 

 

Funciones combinadas

Combinando estas derivadas estándar con las reglas de derivación se pueden manejar incluso funciones muy complejas. Por ejemplo:

 

$$ \large f(x) = e^x \cdot \sin x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = e^x \cdot \sin x + e^x \cdot \cos x = e^x(\sin x + \cos x) $$

 

O con logaritmo y función de potencia:

 

$$ \large f(x) = x^2 \ln x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 2x \ln x + x $$

 

 

Resumen

Tabla de las derivadas más comunes:

 

Función	Derivada
\( \large x^n \)	\( \large n \cdot x^{n-1} \)
\( \large e^x \)	\( \large e^x \)
\( \large a^x \)	\( \large a^x \cdot \ln(a) \)
\( \large \ln(x) \)	\( \large \frac{1}{x} \)
\( \large \sin(x) \)	\( \large \cos(x) \)
\( \large \cos(x) \)	\( \large -\sin(x) \)
\( \large \tan(x) \)	\( \large \frac{1}{\cos^2(x)} \)

 

 

Estas derivadas estándar forman la base de todo el trabajo posterior en el cálculo diferencial. Se utilizan para determinar pendientes, encontrar extremos, resolver problemas de optimización y analizar curvas. Una vez dominadas, derivar incluso funciones complejas se convierte en una tarea rutinaria.