Diferenciabilidad
Para poder derivar una función, esta debe ser diferenciable. Esto significa que la función tiene una pendiente bien definida en cada punto. No todas las funciones cumplen esta condición — algunas tienen saltos, puntas o quiebros donde la derivada no existe.
Cuándo es una función diferenciable
Una función \( \large f(x) \) es diferenciable en un punto \( \large x_0 \) si la derivada existe allí, es decir, si el límite
$$ \large f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$
da el mismo resultado al aproximarse por la izquierda o por la derecha. Si las pendientes izquierda y derecha no coinciden, no existe una tangente — y por tanto, no existe derivada.
Una función que es diferenciable en todo su dominio se llama suave. Todos los polinomios y las funciones exponenciales son suaves, mientras que, por ejemplo, la función valor absoluto \( \large f(x) = |x| \) no lo es, porque tiene un quiebro en el origen.
Relación entre continuidad y diferenciabilidad
Si una función es diferenciable, también es continua — pero lo contrario no siempre es cierto. Es posible tener una función lo suficientemente suave como para dibujarla sin interrupciones, pero que aun así no sea diferenciable en todos los puntos. Un ejemplo clásico es \( \large f(x) = |x| \): es continua, pero no diferenciable en \( \large x = 0 \).
Reglas de derivación
Al encontrar derivadas, rara vez es necesario volver a la definición. En su lugar, se utiliza un conjunto fijo de reglas de derivación que hacen el cálculo rápido y sistemático. Estas reglas se aplican a todas las funciones diferenciables.
1. Regla de la constante
La derivada de una constante es siempre cero:
$$ \large (k)' = 0 $$
Ejemplo: Si \( \large f(x) = 7 \), entonces \( \large f'(x) = 0 \).
2. Regla de la potencia
La regla más importante es la regla de la potencia:
$$ \large (x^n)' = n \cdot x^{n-1} $$
Ejemplo: \( \large (x^4)' = 4x^3 \) y \( \large (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
3. Regla del factor constante
Un factor constante puede sacarse fuera de la derivada:
$$ \large (k \cdot f(x))' = k \cdot f'(x) $$
Ejemplo: \( \large (3x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x \).
4. Regla de la suma y la diferencia
La derivada de una suma (o diferencia) es la suma (o diferencia) de las derivadas:
$$ \large (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) $$
Ejemplo: \( \large (x^3 + 5x)' = 3x^2 + 5 \).
5. Regla del producto
Cuando dos funciones se multiplican, se deriva una a la vez:
$$ \large (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) $$
Ejemplo: Si \( \large f(x) = x^2 \) y \( \large g(x) = \sin x \), entonces
$$ \large (x^2 \cdot \sin x)' = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x $$
6. Regla del cociente
Para las fracciones, se aplica una regla similar:
$$ \large \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2} $$
Ejemplo: \( \large \left( \frac{x^2}{x+1} \right)' = \frac{2x(x+1) - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2} \).
7. Regla de la cadena
Cuando una función está compuesta por otra, se utiliza la regla de la cadena:
$$ \large (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
Ejemplo: \( \large (\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot 3 = 3 \cdot \cos(3x) \).
Consecuencias gráficas y prácticas
Las siete reglas permiten derivar la mayoría de las funciones que se encuentran en la práctica. También muestran que la derivada no es solo una herramienta abstracta, sino un sistema capaz de manejar incluso relaciones complejas — desde polinomios simples hasta funciones exponenciales y trigonométricas compuestas.
Ejemplo: funciones combinadas
Encuentra la derivada de \( \large f(x) = (2x^2 + 3x) \cdot e^x \).
Aquí deben usarse tanto la regla del producto como la regla de la suma:
$$ \large f'(x) = (4x + 3) \cdot e^x + (2x^2 + 3x) \cdot e^x = e^x \cdot (2x^2 + 7x + 3) $$
Esto muestra que incluso una función bastante compleja puede derivarse combinando unas pocas reglas simples.
Resumen
Una función es diferenciable si tiene una tangente bien definida en cada punto. Una vez que la función es diferenciable, las reglas de derivación permiten encontrar rápidamente su derivada sin recurrir a la definición del límite. Estas reglas constituyen la base de todo trabajo posterior en cálculo diferencial.