Zins

Wenn man mit Prozent arbeitet, begegnet man schnell dem Begriff Zins. 

Zins wird verwendet, um zu beschreiben, wie stark ein Wert im Laufe der Zeit wächst, zum Beispiel wenn man Geld bei der Bank anlegt oder leiht.

 

Was ist Zins?

Der Zins ist die Zahlung, die man entweder erhält oder zahlen muss, weil ein Kapital (ein Betrag) zur Verfügung gestellt wird.

Der Zins wird immer in Prozent des Kapitals pro Zeiteinheit angegeben (oft jährlich).

 

Beispiel:

Wenn du 1.000 Euro bei der Bank zu einem Jahreszins von 5% anlegst, bedeutet das, dass du erhältst:

 

$$ \large \frac{5}{100} \cdot 1000 = 50\ Euro $$

 

Also 50 Euro Zinsen nach einem Jahr.

 

Einfache Zinsen

Manchmal berechnet man Zinsen nur auf den ursprünglichen Betrag (das Kapital), ohne die Zinsen dem Kapital zuzuschlagen. Das nennt man einfache Zinsen.

 

Die Formel für einfache Zinsen lautet:

 

$$ \large R = K_0 \cdot r \cdot n $$

 

wobei \(K_0\) das Anfangskapital ist, \(r\) der Zinssatz (als Dezimalzahl) und \(n\) die Anzahl der Jahre.

 

Beispiel:

Wenn du 1.000 Euro zu 5% für 3 Jahre anlegst, erhältst du:

 

$$ \large R = 1000 \cdot 0,05 \cdot 3 = 150\ Euro $$

 

Also insgesamt 150 Euro Zinsen nach 3 Jahren, und das Kapital ist dann:

 

$$ \large K = 1000 + 150 = 1150\ Euro $$

 

Bei einfachen Zinsen wächst das Kapital also jedes Jahr um denselben Betrag.

 

Zinseszins

Wenn die Zinsen dem Kapital zugeschlagen werden, sodass man im nächsten Jahr Zinsen sowohl auf den ursprünglichen Betrag als auch auf die früheren Zinsen erhält, nennt man das Zinseszins.

 

Nach zwei Jahren sieht es so aus:

 

$$ \large 1000 \cdot 1,05 \cdot 1,05 = 1102,50 $$

 

Die zusätzlichen 2,50 entstehen dadurch, dass du auch Zinsen auf die Zinsen des ersten Jahres erhalten hast, entsprechend 5% von 50.

 

Allgemeine Formel für Zinseszins

Wenn man das Anfangskapital \(K_0\), den Zinssatz \(r\) (als Dezimalzahl) und die Anzahl der Jahre \(n\) kennt, kann man das Kapital \(K_n\) nach \(n\) Jahren mit der Formel berechnen:

 

$$ \large K_n = K_0 \cdot (1+r)^n $$

 

Beispiel:

Wenn du 2.000 Euro zu 3% für 4 Jahre anlegst, erhältst du:

 

$$ \large K_4 = 2000 \cdot (1+0,03)^4 = 2000 \cdot 1,1255 = 2251,06 $$

 

Der Betrag wächst also auf etwa 2251 Euro.

 

Zusammenfassung

• Zins ist ein Prozentsatz eines Kapitals.
• Zinseszins bedeutet, dass man Zinsen auf Zinsen erhält.
• Die allgemeine Formel lautet \(K_n = K_0 \cdot (1+r)^n\).