Klammern

Klammern werden in der Mathematik verwendet, um die Reihenfolge der Berechnungen festzulegen. Sie können sowohl ändern, welche Terme zuerst berechnet werden, als auch wie ein Ausdruck entfernt oder erweitert werden kann. Dadurch sind sie ein wichtiges Werkzeug in fast allen Arten von Rechenaufgaben.

 

Regeln

Bei einem Ausdruck mit mehreren Termen muss man immer zuerst multiplizieren und dividieren, bevor man addiert und subtrahiert. (Die Reihenfolge der Rechenarten)

 

Wenn die Aufgabe verlangt, dass man etwas vor dem Multiplizieren/Dividieren addiert, setzt man Klammern um das, was zuerst berechnet werden soll.

 

Beispiele:

 

$$ \large 1 + 2 \cdot 3 $$

 

Hier muss man zuerst multiplizieren (2 · 3) und danach 1 addieren:

 

$$ \large 1 + 6 = 7 $$

 

Im Gegensatz zu:

 

$$ \large (1 + 2) \cdot 3 $$

 

Hier muss man zuerst addieren (1 + 2) und danach mit 3 multiplizieren:

 

$$ \large 3 \cdot 3 = 9 $$

 

Klammern können also verwendet werden, um die Reihenfolge der Berechnung zu ändern und dadurch ein anderes Ergebnis zu erhalten.

 

 

Vorzeichen

Das Vorzeichen vor der Klammer (das Symbol direkt davor) bestimmt, was man darf und muss.

 

Eine Klammer mit Pluszeichen kann entfernt werden, ohne etwas weiter zu tun. Die Klammer hat keinen Einfluss darauf, wie gerechnet wird:

 

$$ \large a+(b-c+d) = a+b-c+d $$

 

Zahlenbeispiel: \( \large 5+(3-2) = 5+3-2 = 6\).

 

Eine Klammer mit Minuszeichen kann entfernt werden, wenn man alle Vorzeichen der Terme ändert:

 

$$ \large a-(b-c+d) = a-b+c-d $$

 

Zahlenbeispiel: \( \large 5-(3-2) = 5-3+2 = 4\).

 

In Klammern multiplizieren

Man multipliziert einen mehrgliedrigen Ausdruck mit einer Zahl, indem man jeden Term mit dieser Zahl multipliziert.

Das nennt man "in die Klammern multiplizieren". Zum Beispiel, wenn da steht: \( \large 2 \cdot (a + b)\)

Muss man sowohl \( \large a\) als auch \( \large b\) mit \( \large 2\) multiplizieren und danach addieren:

 

$$ \large 2 \cdot (a+b) = 2a + 2b $$

 

Weitere Beispiele:

 

$$ \large (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd $$

$$ \large (a+b)(c-d) = ac - ad + bc - bd $$

$$ \large (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $$

$$ \large (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $$

$$ \large (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $$

 

 

Zusammenfassung

Klammern werden in der Mathematik für drei Hauptzwecke verwendet:

 

• Die Reihenfolge der Berechnung festzulegen.
• Die Vorzeichen der Terme in der Klammer zu ändern.
• Das Multiplizieren in einen Ausdruck oder dessen Erweiterung zu ermöglichen.

 

Denk daran, dass Klammern nicht nur „zusätzliche Deko“ sind, sondern ein wichtiger Teil dafür, wie man richtig rechnet.

 

Ein typischer Fehler ist es, die Reihenfolge der Rechenarten zu übersehen. Zum Beispiel gibt es einen großen Unterschied zwischen:

 

$$ \large 1+2\cdot3 = 7 $$

$$ \large (1+2)\cdot3 = 9 $$