Potenz und Wurzel

Potenzen und Wurzeln sind zwei Seiten derselben Medaille.

Eine Potenz beschreibt wiederholte Multiplikation, während eine Wurzel die umgekehrte Operation ist, bei der man die Zahl findet, die mit sich selbst eine bestimmte Anzahl von Malen multipliziert werden muss, um ein Ergebnis zu erhalten.

Beide Konzepte treten in vielen Bereichen der Mathematik auf – von einfachen Flächenberechnungen bis hin zu großen Zahlen in wissenschaftlichen Zusammenhängen.

 

 

Potenzen

Eine Potenz ist eine Möglichkeit, wiederholte Multiplikation zu schreiben. Anstatt eine Zahl viele Male mit sich selbst zu multiplizieren, verwendet man einen kleinen Exponenten oberhalb der Zahl. Es wird so geschrieben:

 

$$ \large a^n = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdots a \ \ (n\ Mal) $$

 

Beispiel:

 

$$ \large 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 $$

 

 

Besondere Fälle

Es gibt einige wichtige und nützliche Regeln für den Exponenten:

 

  • Nullte Potenz: Für alle Zahlen \(a \ne 0\) gilt \(a^0 = 1\).
  • Erste Potenz: Hier gilt \(a^1 = a\).
  • Negative Potenzen: Ein negativer Exponent bedeutet, den Kehrwert zu nehmen. Zum Beispiel: \(a^{-2} = \tfrac{1}{a^2}\).
  • Brüche als Exponenten: Ein gebrochener Exponent verbindet Potenzen und Wurzeln. Zum Beispiel: \(a^{\tfrac{1}{2}} = \sqrt{a}\) und \(a^{\tfrac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}\).

 

 

Wurzeln

Wurzeln sind die Umkehrung von Potenzen. Wenn wir wissen, dass \(9^2 = 81\), dann ist die Quadratwurzel von 81 gleich 9.

 

$$ \large \sqrt{81} = 9 $$

 

Auf die gleiche Weise kann man Kubikwurzeln (dritte Wurzel), vierte Wurzeln usw. nehmen:

 

$$ \large \sqrt[3]{729} = 9 \quad \text{weil } 9^3 = 729 $$

$$ \large \sqrt[4]{6561} = 9 \quad \text{weil } 9^4 = 6561 $$

 

Allgemein können wir sagen, dass die n-te Wurzel einer Zahl \(a\) die Zahl ist, die mit sich selbst \(n\) Mal multipliziert \(a\) ergibt.

 

 

Zusammenhang zwischen Potenzen und Wurzeln

Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen Potenzen und Wurzeln. Tatsächlich können alle Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten geschrieben werden:

 

$$ \large \sqrt[n]{a} = a^{\tfrac{1}{n}} $$

$$ \large \sqrt[n]{a^m} = a^{\tfrac{m}{n}} $$

 

 

Anwendungen

Potenzen und Wurzeln werden in der gesamten Mathematik und Wissenschaft verwendet. Einige Beispiele:

 

  • Flächen und Seitenlängen: Wenn die Fläche eines Quadrats 49 beträgt, kann man die Seitenlänge durch Ziehen der Quadratwurzel finden: \( \large \sqrt{49} = 7\).
  • Pythagoreisches Theorem: In einem rechtwinkligen Dreieck gilt \( \large a^2 + b^2 = c^2\). Wenn die Katheten \( \large a\) und \( \large b\) bekannt sind, kann die Hypotenuse \( \large c\) mit Hilfe einer Quadratwurzel gefunden werden: \( \large c = \sqrt{a^2 + b^2}\).
  • Wissenschaftliche Notation: Große oder kleine Zahlen werden oft als Potenzen von 10 geschrieben, z. B. \( \large 3,2 \cdot 10^5\).

 

 

Formeln

Potenz

$$ a^{-n} = {1 \over a^n} $$

$$ a^n \cdot a^p = a^{n+p} $$

$$ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n $$

$$ {a^n \over a^p} = a^{n-p} $$

$$ {a^n \over b^n} = \bigl( {a \over b} \bigr)^n $$

$$ (a^n)^p = a^{n\ \cdot \ p} $$

$$ a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a} $$

$$ a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a} $$

$$ \sqrt[r]{a^p}=a^{\frac{p}{r}} $$

$$ 2a^2 = 2 \cdot a \cdot a $$

$$ (2a)^2 = (2a) \cdot (2a) = 4a^2 $$

Wurzel

$$ \sqrt {a \cdot b}\ =\ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $$

$$ \sqrt {a \over b}\ =\ {\sqrt{a} \over \sqrt{b} } $$

$$ \sqrt[m]{a}\cdot \sqrt[n]{a}=\sqrt[m \cdot n]{a^{m+n}} $$

$$ \sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[m]{b}= \sqrt[m]{a\ \cdot \ b} $$

$$ \frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m \cdot n]{a^{n-m}} $$

$$ \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}} $$

$$ \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}} $$

$$ (\sqrt[n]{a})^m=a^{\frac{m}{n}} $$

$$ \frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[m]{b}}=\sqrt[m]{\frac{a}{b}} $$

$$ \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[m\ \cdot \ n]{a} $$