Zehnerpotenz und wissenschaftliche Notation
Zehnerpotenz ist eine Methode, sehr große und sehr kleine Zahlen übersichtlich zu schreiben.
Anstatt alle Nullen auszuschreiben, können wir Zehnerpotenzen verwenden und die Zahlen kurz und leicht lesbar machen.
Große Zahlen
Wenn der Exponent positiv ist, erhalten wir große Zahlen. Der Exponent gibt an, wie viele Nullen nach der 1 stehen:
$$ \large 10^2 = 100 $$
$$ \large 10^3 = 1.000 $$
$$ \large 10^6 = 1.000.000 $$
Beispiel:
Die Entfernung zum Mond beträgt etwa \(384.000.000 \,\text{m} = 3,84 \cdot 10^8 \,\text{m}\).
Auf die gleiche Weise kann man die Anzahl der Sterne in der Milchstraße schreiben. Es wird auf etwa \(100.000.000.000 = 1 \cdot 10^{11}\) Sterne geschätzt.
Kleine Zahlen
Negative Exponenten werden verwendet, um kleine Zahlen zu schreiben. Der Exponent zeigt, um wie viele Dezimalstellen sich die Zahl verschiebt:
$$ \large 10^{-1} = 0,1 $$
$$ \large 10^{-2} = 0,01 $$
$$ \large 10^{-4} = 0,0001 $$
Beispiele:
Ein menschliches Haar ist typischerweise \(0,0001\,\text{m} = 1 \cdot 10^{-4}\,\text{m}\) dick.
Der Radius eines Atoms kann etwa \(0,00000000005\,\text{m} = 5 \cdot 10^{-11}\,\text{m}\) betragen.
Wissenschaftliche Notation
Wenn wir große oder kleine Zahlen auf diese Weise schreiben, nennt man das wissenschaftliche Notation. Die Form sieht so aus:
$$ \large a \cdot 10^b $$
Hier ist \(a\) eine Zahl zwischen 1 und 10, und \(b\) ist eine ganze Zahl. Dass \(a\) zwischen 1 und 10 liegt, stellt sicher, dass die Zahl so kurz wie möglich geschrieben wird.
Beispiel:
$$ \large 384.000.000 = 3,84 \cdot 10^8 $$
Rechenregeln
Die üblichen Potenzregeln gelten auch für Zehnerpotenzen:
$$ \large 10^m \cdot 10^n = 10^{m+n} $$
$$ \large \frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n} $$
$$ \large (10^m)^n = 10^{m \cdot n} $$
Notation auf Taschenrechnern
Viele Taschenrechner und Computerprogramme verwenden E (oder EE) anstelle von 10 in der wissenschaftlichen Notation. Der Exponent wird direkt nach dem E geschrieben:
$$ \large 3,84 \cdot 10^8 = 3,84E8 $$