Unbestimmtes Integral
Das unbestimmte Integral beschreibt den umgekehrten Prozess der Differentiation. Während die Differentialrechnung misst, wie sich eine Funktion ändert, gibt die Integralrechnung an, welche Funktion eine bestimmte Änderungsrate erzeugt. Das Ergebnis nennt man eine Stammfunktion.
Stammfunktion und Notation
Wenn eine Funktion \( \large F(x) \) die Ableitung \( \large F'(x)=f(x) \) hat, nennt man \( \large F \) eine Stammfunktion von \( \large f \). Man schreibt:
$$ \large \int f(x)\,dx \;=\; F(x) + C $$
Hierbei ist \( \large C \) die Integrationskonstante, die ausdrückt, dass viele verschiedene Funktionen dieselbe Ableitung haben können. Die Konstante beeinflusst die Steigung nicht, sondern verschiebt die Kurve vertikal.
Beispiel 1: Potenzregel
Finde die Stammfunktion von \( \large f(x) = x^n \), wobei \( \large n \neq -1 \). Gesucht ist eine Funktion \( \large F \), deren Ableitung \( \large x^n \) ergibt. Dies ergibt:
$$ \large \int x^n\,dx \;=\; \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$
Indem man den Exponenten um 1 erhöht und durch den neuen Exponenten teilt, erhält man die allgemeine Stammfunktion für Potenzen von \( \large x \).
Beispiel 2: Summe und konstanter Faktor
Besteht die Funktion aus mehreren Termen, kann jeder Term einzeln integriert werden. Es gilt:
$$ \large \int \big(f(x) + g(x)\big)\,dx \;=\; \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx $$
$$ \large \int k \cdot f(x)\,dx \;=\; k \cdot \int f(x)\,dx $$
Diese Regeln ermöglichen es, Stammfunktionen zusammengesetzter Ausdrücke zu finden, indem man termweise arbeitet.
Beispiel 3: Angewandte Berechnung
Finde die Stammfunktion von \( \large f(x) = 3x^2 - 4x + 1 \):
$$ \large \int (3x^2 - 4x + 1)\,dx \;=\; x^3 - 2x^2 + x + C $$
Die resultierende Funktion \( \large F(x) = x^3 - 2x^2 + x + C \) hat tatsächlich die Ableitung \( \large F'(x)=3x^2 - 4x + 1 \).
Kontrolle durch Differentiation
Eine gute Möglichkeit, das Ergebnis zu überprüfen, besteht darin, die Stammfunktion erneut abzuleiten. Wenn man die ursprüngliche Funktion \( \large f(x) \) erhält, ist die Berechnung korrekt. Dies zeigt auch, dass Integration und Differentiation entgegengesetzte Operationen sind.
Bedeutung der Integrationskonstanten
Die Familie der unbestimmten Integrale besteht aus unendlich vielen Funktionen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die Konstante \( \large C \) hat eine geometrische Bedeutung als vertikale Verschiebung: Alle Stammfunktionen haben dieselbe Form, liegen aber auf verschiedenen Höhen im Koordinatensystem.
Zusammenfassung
Das unbestimmte Integral wird verwendet, um Stammfunktionen zu finden, also Funktionen, deren Ableitung einer gegebenen \( \large f(x) \) entspricht. Die Integration „kehrt“ somit die Differentiation um. Jede Stammfunktion unterscheidet sich nur um eine Konstante, und die Richtigkeit kann stets durch erneute Differentiation überprüft werden.