Rechenregeln für Integrale
Um Integrale effizienter zu lösen, gibt es eine Reihe von Rechenregeln, die denjenigen der Differentialrechnung ähneln. Sie ermöglichen es, zusammengesetzte Ausdrücke Schritt für Schritt zu integrieren, ohne jedes Mal zur Definition zurückzukehren.
1. Konstante-Faktor-Regel
Eine Konstante kann immer vor das Integralzeichen gezogen werden. Wenn \( \large k \) eine Konstante und \( \large f(x) \) eine Funktion ist, gilt:
$$ \large \int k \cdot f(x)\,dx \;=\; k \cdot \int f(x)\,dx $$
Beispiel:
$$ \large \int 5x^3\,dx \;=\; 5 \cdot \int x^3\,dx \;=\; 5 \cdot \frac{x^4}{4} + C \;=\; \tfrac{5}{4}x^4 + C $$
2. Summen- und Differenzregel
Die Integration verteilt sich auf Addition und Subtraktion. Das bedeutet, dass man jedes Glied getrennt integrieren kann:
$$ \large \int \big(f(x) \pm g(x)\big)\,dx \;=\; \int f(x)\,dx \;\pm\; \int g(x)\,dx $$
Beispiel:
$$ \large \int (3x^2 - 2x + 4)\,dx \;=\; x^3 - x^2 + 4x + C $$
3. Potenzregel
Die Potenzregel ist die grundlegendste Formel und gilt für alle \( \large n \neq -1 \):
$$ \large \int x^n\,dx \;=\; \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$
Beispiel:
$$ \large \int x^4\,dx \;=\; \frac{x^5}{5} + C $$
4. Logarithmusregel
Wenn der Exponent \( \large -1 \) ist, gilt eine spezielle Regel, da die Potenzregel nicht verwendet werden kann. In diesem Fall erscheint der natürliche Logarithmus:
$$ \large \int \frac{1}{x}\,dx \;=\; \ln|x| + C $$
5. Exponentialfunktionen
Das Integral einer Exponentialfunktion mit der Basis \( \large e \) ist wieder eine Exponentialfunktion:
$$ \large \int e^x\,dx \;=\; e^x + C $$
Wenn der Exponent eine lineare Funktion \( \large ax \) ist, wird das Ergebnis mit \( \large \frac{1}{a} \) angepasst:
$$ \large \int e^{ax}\,dx \;=\; \frac{1}{a}e^{ax} + C $$
6. Trigonometrische Funktionen
Die wichtigsten Integrale von Sinus und Kosinus sind:
$$ \large \int \sin x\,dx \;=\; -\cos x + C $$
$$ \large \int \cos x\,dx \;=\; \sin x + C $$
7. Zusammengesetzte Funktionen (umgekehrte Kettenregel)
Wenn die Funktion einen inneren Ausdruck enthält, dessen Ableitung außerhalb auftritt, kann man „rückwärts“ integrieren, indem man die Substitution verwendet (die später behandelt wird). Eine einfache Form lautet:
$$ \large \int f'(x)\,f(x)^n\,dx \;=\; \frac{f(x)^{n+1}}{n+1} + C $$
Beispiel:
$$ \large \int 2x(x^2 + 1)^3\,dx \;=\; \frac{(x^2 + 1)^4}{4} + C $$
Zusammenfassung
Die Rechenregeln ermöglichen es, Integrale schnell und zuverlässig zu bestimmen. Die Regeln für konstante Faktoren, Summen und Potenzen werden in fast allen Berechnungen verwendet. Sie bilden die Grundlage für fortgeschrittenere Methoden wie Substitution und partielle Integration.