Integrationstechniken

Wenn die grundlegenden Integrationsregeln nicht ausreichen, gibt es fortgeschrittenere Methoden, um zusammengesetzte Funktionen zu behandeln. Die beiden wichtigsten sind Substitution und partielle Integration. Sie ermöglichen es, komplizierte Integrale zu vereinfachen, indem man sie in einfachere Formen umschreibt.

 

 

Substitution

Die Substitution wird verwendet, wenn ein Integral eine zusammengesetzte Funktion enthält, bei der ein Teil des Ausdrucks als neue Variable betrachtet werden kann. Die Methode ist im Prinzip die Kettenregel „rückwärts“ angewendet.

 

 

Die Idee der Substitution

Wenn man einen inneren Ausdruck \( \large u = g(x) \) identifizieren kann und der Rest des Integranden \( \large g'(x)\,dx \) enthält, kann man den gesamten Ausdruck durch eine neue Variable \( \large u \) ersetzen. Danach integriert man in Bezug auf \( \large u \) statt auf \( \large x \).

 

$$ \large \int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx \;=\; \int f(u)\,du $$

 

 

 

 

Beispiel 1: Substitution einer inneren Funktion

Finde \( \large \int 2x(x^2 + 1)^3\,dx \)

 

Setze \( \large u = x^2 + 1 \), also \( \large du = 2x\,dx \). Dann gilt:

 

$$ \large \int 2x(x^2 + 1)^3\,dx \;=\; \int u^3\,du \;=\; \frac{u^4}{4} + C \;=\; \frac{(x^2 + 1)^4}{4} + C $$

 

Die Substitution vereinfacht also den Integranden, sodass man direkt mit der Potenzregel integrieren kann.

 

 

Beispiel 2: Exponentialfunktion

Finde \( \large \int e^{3x}\,dx \).

 

Hier setzen wir \( \large u = 3x \), also \( \large du = 3\,dx \) oder \( \large dx = \frac{du}{3} \):

 

$$ \large \int e^{3x}\,dx \;=\; \frac{1}{3}\int e^u\,du \;=\; \frac{1}{3}e^u + C \;=\; \frac{1}{3}e^{3x} + C $$

 

Die Substitution stellt sicher, dass die innere Ableitung korrekt berücksichtigt wird, wodurch das Ergebnis konsistent bleibt.

 

 

Partielle Integration

Die partielle Integration wird verwendet, wenn der Integrand das Produkt zweier Funktionen ist, von denen eine Ableitung und die andere Stammfunktion bekannt ist. Die Methode ergibt sich direkt aus der Produktregel der Differentialrechnung, rückwärts angewendet.

 

 

Formel

$$ \large \int u\,dv \;=\; u \cdot v - \int v\,du $$

 

Man wählt typischerweise \( \large u \) als die Funktion, die beim Ableiten einfacher wird, und \( \large dv \) als den Teil, der leicht zu integrieren ist.

 

 

Beispiel 3: Polynom mal Exponentialfunktion

Finde \( \large \int x e^x\,dx \)

 

Wähle \( \large u = x \Rightarrow du = dx \) und \( \large dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x \). Dann erhalten wir:

 

$$ \large \int x e^x\,dx \;=\; x e^x - \int e^x\,dx \;=\; e^x(x - 1) + C $$

 

 

Beispiel 4: Produkt von \( \large x \) und Kosinus

Finde \( \large \int x \cos x\,dx \)

 

Wähle \( \large u = x \Rightarrow du = dx \) und \( \large dv = \cos x\,dx \Rightarrow v = \sin x \):

 

$$ \large \int x \cos x\,dx \;=\; x \sin x - \int \sin x\,dx \;=\; x \sin x + \cos x + C $$

 

 

Wahl der Methode

Die Substitution wird angewendet, wenn eine innere Funktion zusammen mit ihrer Ableitung vorkommt, während die partielle Integration verwendet wird, wenn der Integrand ein Produkt ist und keine direkte Substitution funktioniert. Beide Methoden ergänzen sich und decken die meisten Standardintegrale ab.

 

 

Zusammenfassung

Diese Integrationstechniken erweitern die grundlegenden Regeln. Die Substitution ermöglicht die Behandlung zusammengesetzter Funktionen durch Einführung einer neuen Variablen, während die partielle Integration Produkte behandelt. Zusammen ermöglichen sie die systematische Lösung komplexer Integrale.