Sandhedstabeller
En sandhedstabel er et systematisk redskab til at vise, hvordan sandhedsværdien af et sammensat udsagn afhænger af sandhedsværdierne af de enkelte udsagn. Tabellen gør det muligt at gennemgå alle mulige situationer og se præcis, hvornår et udtryk er sandt eller falsk.
Antal rækker
Hvis der indgår \( \large n \) udsagn i et logisk udtryk, skal man overveje alle kombinationer af sand og falsk. Derfor får tabellen \( \large 2^n \) rækker.
Eksempler:
- For ét udsagn, \( \large p \), har tabellen \( \large 2^1 = 2 \) rækker.
- For to udsagn, \( \large p, q \), har tabellen \( \large 2^2 = 4 \) rækker.
- For tre udsagn, \( \large p, q, r \), har tabellen \( \large 2^3 = 8 \) rækker.
Eksempel: To udsagn
Vi kan undersøge udtrykket \( \large (p \lor q) \land \lnot p \). Tabellen viser først alle kombinationer af \( \large p \) og \( \large q \), og derefter resultatet af hele udtrykket:
$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & (p \lor q) \land \lnot p \\ \hline S & S & F \\ S & F & F \\ F & S & S \\ F & F & F \\ \hline \end{array} $$
Eksempel: Tre udsagn
Hvis der indgår tre udsagn, vokser tabellen hurtigt. For udtrykket \( \large (p \lor q) \Rightarrow r \) skal man have alle otte kombinationer med:
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline p & q & r & (p \lor q) \Rightarrow r \\ \hline S & S & S & S \\ S & S & F & F \\ S & F & S & S \\ S & F & F & F \\ F & S & S & S \\ F & S & F & F \\ F & F & S & S \\ F & F & F & S \\ \hline \end{array} $$
Anvendelser
Sandhedstabeller bruges til flere formål:
- At definere logiske forbindelser præcist.
- At analysere komplekse logiske udtryk.
- At undersøge, om to udtryk er logisk ækvivalente.
- I datalogi og elektronik, fx til at beskrive logiske kredsløb og boolesk algebra.
Opsummering
En sandhedstabel viser alle mulige kombinationer af sandhedsværdier for de udsagn, der indgår i et udtryk. Den gør det muligt at se reglerne klart, kontrollere udtryk og bevise logiske sammenhænge. Sandhedstabeller er derfor et af de mest grundlæggende værktøjer i logikken.