Logiske forbindelser bruges til at kombinere udsagn og danne nye udsagn. De beskriver, hvordan sandhedsværdien af det sammensatte udsagn afhænger af de enkelte udsagn. De vigtigste logiske forbindelser er negation, konjunktion, disjunktion, implikation og ekvivalens.

 

 

Negation

Negationen af et udsagn udtrykker, at det modsatte er tilfældet. Hvis \( \large p \) er et udsagn, skrives negationen som \( \large \lnot p \) og læses "ikke p".

 

Eksempler:

 

• Hvis \( \large p \) er "2 er et lige tal", så er \( \large \lnot p \) udsagnet "2 er ikke et lige tal".
• Hvis \( \large p \) er "Solen skinner", så er \( \large \lnot p \) udsagnet "Solen skinner ikke".

 

$$ \begin{array}{|c|c|} \hline p & \lnot p \\ \hline S & F \\ F & S \\ \hline \end{array} $$

 

 

Konjunktion (og)

Konjunktionen af to udsagn er sand, når begge udsagn er sande. Hvis \( \large p \) og \( \large q \) er udsagn, skrives konjunktionen som \( \large p \land q \).

 

Eksempler:

 

• Hvis \( \large p \) er "2 er et lige tal" og \( \large q \) er "2 er større end 1", så er \( \large p \land q \) sandt.
• Hvis \( \large p \) er "5 er et primtal" og \( \large q \) er "5 er et lige tal", så er \( \large p \land q \) falsk, fordi kun det første udsagn er sandt.

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \land q \\ \hline S & S & S \\ S & F & F \\ F & S & F \\ F & F & F \\ \hline \end{array} $$

 

 

Disjunktion (eller)

Disjunktionen af to udsagn er sand, når mindst ét af udsagnene er sande. Hvis \( \large p \) og \( \large q \) er udsagn, skrives disjunktionen som \( \large p \lor q \).

 

Bemærk: I matematik betyder "eller" næsten altid inklusiv eller, dvs. udsagnet er også sandt, hvis begge udsagn er sande.

 

Eksempler:

 

• Hvis \( \large p \) er "2 er et lige tal" og \( \large q \) er "2 er større end 10", så er \( \large p \lor q \) sandt, fordi mindst ét udsagn er sandt.
• Hvis \( \large p \) er "5 er et primtal" og \( \large q \) er "5 er et lige tal", så er \( \large p \lor q \) sandt, fordi \( \large p \) er sandt.
• Kun når begge udsagn er falske, bliver disjunktionen falsk.

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \lor q \\ \hline S & S & S \\ S & F & S \\ F & S & S \\ F & F & F \\ \hline \end{array} $$

 

I dagligsprog bruges "eller" ofte som eksklusiv eller (enten det ene eller det andet, men ikke begge). I matematik kan man skrive dette som en særlig operation: \( \large p \oplus q \). Denne er sand præcis når ét udsagn er sandt, men ikke begge.

 

 

Implikation (hvis … så …)

Implikationen udtrykker en betinget sammenhæng. Hvis \( \large p \) og \( \large q \) er udsagn, skrives implikationen som \( \large p \Rightarrow q \) og læses "hvis p, så q".

 

Implikationen er kun falsk, når forudsætningen \( \large p \) er sand, men konklusionen \( \large q \) er falsk. I alle andre tilfælde regnes den for sand.

 

Eksempler:

 

• Hvis \( \large p \) er "et tal er deleligt med 4" og \( \large q \) er "tallet er deleligt med 2", så er \( \large p \Rightarrow q \) sand, fordi alle tal der er delelige med 4 også er delelige med 2.
• Hvis \( \large p \) er "7 er et lige tal" og \( \large q \) er "10 er et lige tal", så er \( \large p \Rightarrow q \) sand, fordi forudsætningen er falsk – uanset konklusionen.

 

Dette kan virke kontraintuitivt i forhold til dagligsprog, men i matematik er det praktisk: en implikation med falsk forudsætning tælles som sand, fordi påstanden "hvis … så …" ikke bliver modbevist.

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \Rightarrow q \\ \hline S & S & S \\ S & F & F \\ F & S & S \\ F & F & S \\ \hline \end{array} $$

 

 

Ekvivalens (hvis og kun hvis)

Ekvivalensen udtrykker, at to udsagn altid har samme sandhedsværdi. Hvis \( \large p \) og \( \large q \) er udsagn, skrives ekvivalensen som \( \large p \Leftrightarrow q \).

 

Eksempler:

 

• "Et tal er lige, hvis og kun hvis det kan skrives som \( \large 2 \cdot k \) for et heltal \( \large k \)".
• "En trekant er ligesidet, hvis og kun hvis alle dens sider er lige lange".

 

Ekvivalensen er sand, når begge udsagn er sande eller begge er falske, og falsk når de har forskellig sandhedsværdi.

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \Leftrightarrow q \\ \hline S & S & S \\ S & F & F \\ F & S & F \\ F & F & S \\ \hline \end{array} $$

 

 

Opsummering

De vigtigste logiske forbindelser er:

 

• Negation: \( \lnot p \) — sand hvis \( p \) er falsk
• Konjunktion: \( p \land q \) — sand kun hvis begge er sande
• Disjunktion: \( p \lor q \) — sand hvis mindst ét udsagn er sandt
• Implikation: \( p \Rightarrow q \) — falsk kun når p er sand og q er falsk
• Ekvivalens: \( p \Leftrightarrow q \) — sand når p og q har samme sandhedsværdi

 

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & \lnot p & p \land q & p \lor q & p \Rightarrow q & p \Leftrightarrow q \\ \hline S & S & F & S & S & S & S \\ S & F & F & F & S & F & F \\ F & S & S & F & S & S & F \\ F & F & S & F & F & S & S \\ \hline \end{array} $$