Logik og udsagnsregning er den del af matematikken, der beskæftiger sig med udsagn, deres sandhedsværdi og de regler, man kan kombinere og manipulere dem efter. Det er grundlaget for al matematisk argumentation og bevisførelse.

Logik i matematik adskiller sig fra den dagligdags brug af ordet logik. I matematik arbejder vi med præcise regler for, hvornår et udsagn er sandt eller falsk. Et udsagn er en påstand, der enten er sand eller falsk. Hele udsagnsregningen bygger på dette enkle princip.

 

 

Udsagnsregning som system

Vi kan kombinere udsagn ved hjælp af logiske forbindelser som og, eller og ikke.

 

$$ \large p \land q \quad\; (\text{og}) $$

$$ \large p \lor q \quad\; (\text{eller}) $$

$$ \large \lnot p \quad\; (\text{ikke}) $$

 

Når udsagn kombineres, kan vi opstille regler for sandhedsværdien i alle mulige situationer. Disse regler opsamles i sandhedstabeller.

Her er et eksempel på en sandhedstabel for konjunktionen \( \large p \land q \):

 

$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \land q \\ \hline S & S & S \\ S & F & F \\ F & S & F \\ F & F & F \\ \hline \end{array} $$

 

Vi kan også udvide sproget med kvantorer, så vi kan tale om alle elementer i en mængde eller om eksistensen af mindst ét element. Universalkvantoren udtrykker for alle, mens eksistenskvantoren udtrykker der findes:

 

$$ \large \forall x \in M : P(x) $$

$$ \large \exists x \in M : P(x) $$

 

 

Logiske love

Udsagn kan ofte omskrives uden at ændre deres sandhedsværdi. Det sker ved hjælp af logiske love. Eksempler er De Morgans love, dobbelt negation og distributivitet. Disse regler gør det muligt at forenkle komplekse udsagn og finde alternative formuleringer.

 

 

Logik i matematik

Logikken bruges direkte i matematiske beviser. Et simpelt eksempel er påstanden om, at et heltal er lige, hvis og kun hvis det kan skrives som to gange et andet heltal. Det kan udtrykkes logisk:

 

$$ \large n \text{ er lige } \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z} : n = 2 \cdot k $$

 

 

Struktur og overblik

I det videre arbejde kan man undersøge udsagn, logiske forbindelser, sandhedstabeller, kvantorer samt logiske love og omskrivninger hver for sig i større detaljer.