Logiske love er regler, der viser, hvordan udsagn kan omskrives uden at ændre deres sandhedsværdi. De bruges til at forenkle logiske udtryk og til at vise, at to forskellige udtryk i virkeligheden betyder det samme. Logiske love fungerer som regneregler i logikken, på samme måde som vi har regneregler i aritmetikken.

 

 

Symboler

I logikken bruges forskellige symboler til at vise sammenhænge mellem udsagn:

 

• \( = \) betyder almindelig lighed, som i talregning: \( 2+2 = 4 \).
• \( \equiv \) betyder logisk ækvivalens: to udtryk har altid samme sandhedsværdi.
• \( \Rightarrow \) betyder implikation: hvis det ene udsagn er sandt, må det andet også være sandt.

 

 

$$ \large \begin{array}{|l|l|} \hline \text{Lov} & \text{Ækvivalens} \\ \hline \text{Identitetslove} & p \land \text{sand} \equiv p \\ & p \lor \text{falsk} \equiv p \\ \hline \text{Komplementærlove} & p \lor \lnot p \equiv \text{sand} \\ & p \land \lnot p \equiv \text{falsk} \\ \hline \text{De Morgans love (udsagn)} & \lnot (p \land q) \equiv \lnot p \lor \lnot q \\ & \lnot (p \lor q) \equiv \lnot p \land \lnot q \\ \hline \text{De Morgans love (kvantorer)} & \lnot (\forall x : P(x)) \equiv \exists x : \lnot P(x) \\ & \lnot (\exists x : P(x)) \equiv \forall x : \lnot P(x) \\ \hline \text{Dobbelt negation} & \lnot (\lnot p) \equiv p \\ \hline \text{Distributivitet} & p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r) \\ & p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r) \\ \hline \text{Kommutativitet} & p \land q \equiv q \land p \\ & p \lor q \equiv q \lor p \\ \hline \text{Associativitet} & (p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r) \\ & (p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r) \\ \hline \text{Idempotens} & p \land p \equiv p \\ & p \lor p \equiv p \\ \hline \text{Absorption} & p \lor (p \land q) \equiv p \\ & p \land (p \lor q) \equiv p \\ \hline \end{array} $$

 

 

Identitetslove

Identitetslovene viser, at sand og falsk fungerer som neutrale elementer for henholdsvis og og eller:

 

$$ \large p \land \text{sand} \equiv p \qquad p \lor \text{falsk} \equiv p $$

 

Eksempel:

"Det regner, og det er sandt" betyder blot "det regner".

 

 

Komplementærlove

Et udsagn kombineret med sin negation giver altid enten sandt eller falsk:

 

$$ \large p \lor \lnot p \equiv \text{sand} \qquad p \land \lnot p \equiv \text{falsk} $$

 

Eksempel:

"Enten regner det, eller også regner det ikke" er altid sandt.

 

 

De Morgans love

Negationen fordeler sig over og og eller:

 

$$ \large \lnot (p \land q) \equiv (\lnot p) \lor (\lnot q) $$

$$ \large \lnot (p \lor q) \equiv (\lnot p) \land (\lnot q) $$

 

Eksempel:

"Det er ikke både mandag og regnvejr" betyder det samme som "enten er det ikke mandag, eller også regner det ikke".

 

De Morgans love gælder også for kvantorer:

 

$$ \large \lnot (\forall x : P(x)) \equiv \exists x : \lnot P(x) $$

$$ \large \lnot (\exists x : P(x)) \equiv \forall x : \lnot P(x) $$

 

 

Dobbelt negation

At negere et udsagn to gange giver udsagnet selv tilbage:

 

$$ \large \lnot (\lnot p) \equiv p $$

 

Eksempel:

"Det er ikke tilfældet, at 7 ikke er et primtal" betyder "7 er et primtal".

 

 

Distributivitet

Konjunktion og disjunktion kan fordeles over hinanden:

 

$$ \large p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r) $$

$$ \large p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r) $$

 

Eksempel:

"Jeg køber mælk, og enten brød eller ost" svarer til "jeg køber mælk og brød, eller mælk og ost".

 

 

Kommutativitet

Rækkefølgen af udsagn er ligegyldig ved og og eller:

 

$$ \large p \land q \equiv q \land p \qquad p \lor q \equiv q \lor p $$

 

Eksempel:

"Det regner, og det blæser" betyder det samme som "det blæser, og det regner".

 

 

Associativitet

Parentesernes placering er ligegyldig, når man forbinder flere udsagn med samme operator:

 

$$ \large (p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r) $$

$$ \large (p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r) $$

 

Eksempel:

"((det regner og det blæser) og det er koldt)" er det samme som "(det regner og (det blæser og det er koldt))".

 

 

Idempotens

At gentage det samme udsagn med og eller eller giver ikke nyt indhold:

 

$$ \large p \land p \equiv p \qquad p \lor p \equiv p $$

 

Eksempel:

"Det regner og det regner" betyder blot "det regner".

 

 

Absorption

Kombination af udsagn kan ofte reduceres til det ene udsagn:

 

$$ \large p \lor (p \land q) \equiv p $$

$$ \large p \land (p \lor q) \equiv p $$

 

Eksempel:

"Det regner, eller også regner det og blæser" betyder blot "det regner".

 

 

Opsummering

Logiske love gør det muligt at omskrive og forenkle logiske udtryk uden at ændre deres betydning. Tilsammen danner de et regelsæt, der minder om regnereglerne i algebraen. De bruges både til at forenkle udtryk, til at bevise logiske sammenhænge og i anvendelser som datalogi og boolesk algebra.