Équation quadratique
Une équation du second degré peut toujours s’écrire ou se réécrire sous la forme :
$$ \large ax^2 + bx + c = 0 $$
On l’appelle équation du second degré parce qu’il y a un terme où \( \large x \) est à la puissance deux : \( \large ax^2 \).
Si \( \large a = 0 \), ce n’est pas une équation du second degré, car \( \large 0x^2 = 0 \), et le terme disparaît. Il reste alors une équation du premier degré.
Exemples d’équations du second degré :
$$ \large 40 + 2x = 2x^2 $$
$$ \large x(x - 5) - 14 = 0 $$
Ce sont toutes deux des équations du second degré parce qu’elles peuvent être réécrites sous la forme :
$$ \large ax^2 + bx + c = 0 $$
Avec \( \large a \neq 0 \).
Le discriminant
Il peut être difficile d’isoler \( \large x \) dans une équation du second degré comme on le fait dans une équation du premier degré.
C’est pourquoi on utilise le discriminant, qui nous aide à trouver les solutions et à déterminer combien il y en a.
Le discriminant \( \large D \) se calcule avec cette formule :
$$ \large D = b^2 - 4ac $$
- Si \( \large D > 0 \), il y a deux solutions.
- Si \( \large D = 0 \), il y a une solution.
- Si \( \large D < 0 \), il n’y a aucune solution réelle.
Exemple : Calculer le discriminant
Nous voulons calculer les solutions de l’équation :
$$ \large x(x - 5) - 14 = 0 $$
D’abord, développons les parenthèses :
$$ \large x \cdot x - 5 \cdot x - 14 = 0 \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large x^2 - 5x - 14 = 0 $$
Nous voyons ici qu’il s’agit d’une équation du second degré, donc calculons le discriminant :
$$ \large D = b^2 - 4ac \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large D = 25 - (-56) \quad \Leftrightarrow $$
$$ \large D = 81 $$
Le discriminant est positif, donc il y a deux solutions.
La formule quadratique
Quand nous avons le discriminant, nous pouvons trouver les solutions avec la formule :
$$ \large x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$
\( \large \pm \) est le signe plus/moins. Quand il y a deux solutions, on calcule deux fois : d’abord avec plus puis avec moins.
Solution 1 (plus) :
$$ \large x = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} $$
$$ \large x = \frac{5 + 9}{2} $$
$$ \large x = 7 $$
Solution 2 (moins) :
$$ \large x = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} $$
$$ \large x = \frac{5 - 9}{2} $$
$$ \large x = -2 $$
Vérification
Il est toujours conseillé de vérifier le résultat en remplaçant les solutions dans l’équation d’origine :
$$ \large x(x - 5) - 14 = 0 $$
Vérification de la solution 1 :
$$ \large x = 7 $$
$$ \large 7(7 - 5) - 14 = 0 \Leftrightarrow $$
$$ \large 49 - 35 - 14 = 0 $$
C’est correct.
Vérification de la solution 2 :
$$ \large x = -2 $$
$$ \large -2(-2 - 5) - 14 = 0 \Leftrightarrow $$
$$ \large 4 - (-10) - 14 = 0 $$
C’est correct.
Cas particuliers
Certaines équations du second degré sont plus faciles à résoudre parce qu’un des termes manque.
Quand \( \large b = 0 \) :
L’équation prend la forme :
$$ \large ax^2 + c = 0 $$
On isole \( \large x^2 \) :
$$ \large x^2 = -\frac{c}{a} $$
On peut alors prendre la racine carrée et trouver deux solutions (si le côté droit est positif) :
$$ \large x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} $$
Quand \( \large c = 0 \) :
L’équation prend la forme :
$$ \large ax^2 + bx = 0 $$
On peut mettre \( \large x \) en facteur :
$$ \large x(ax + b) = 0 $$
Cela donne deux solutions :
$$ \large x = 0 \quad \text{ou} \quad x = -\frac{b}{a} $$
Cette méthode s’appelle factorisation et peut souvent rendre la résolution plus rapide.
Résumé
- Une équation du second degré a la forme \( \large ax^2 + bx + c = 0 \), avec \( \large a \neq 0 \).
- Le discriminant \( \large D = b^2 - 4ac \) détermine le nombre de solutions.
- La formule est \( \large x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
- Si \( \large D > 0 \), il y a deux solutions. Si \( \large D = 0 \), il y a une solution. Si \( \large D < 0 \), il n’y a pas de solution réelle.
- Les résultats peuvent toujours être vérifiés en les remplaçant dans l’équation d’origine.